ریاضیات

مثال: محاسبه انرژی حالت پایه نوسانگر ناهماهنگ با اصل وردشی

پتانسیل زیر را در نظر بگیرید:

V(x)=x²+0.2x⁶

این پتانسیل نسبت به نوسانگر هماهنگ معمولی دارای جمله ناهماهنگ x⁶

است و حل دقیق آن دشوار می‌باشد.

گام 1: انتخاب تابع موج آزمایشی

تابع موج گاوسی زیر را انتخاب می‌کنیم:

ψ(x)=e^-αx²/2

که α پارامتر وردشی است.

گام 2: مقادیر امیدی مورد نیاز

<T> = α/4

<x²> = 1/(2α)

<x⁶> = 15/(8α³)

گام 3: انرژی وردشی

انرژی کل برابر است با:

E(α)

=

α/4

+

1/(2α)

+

0.2×15/(8α³)

یا:

E(α)

=

α/4

+

1/(2α)

+

0.375/α³

گام 4: کمینه کردن انرژی

شرط وردشی:

dE/dα = 0

بنابراین:

1/4

-

1/(2α²)

-

1.125/α⁴

=

0

گام 5: حل عددی

حل این معادله تقریباً می‌دهد:

α ≈ 1.63

گام 6: محاسبه انرژی حالت پایه

E=

1.63/4

+

1/(2×1.63)

+

0.375/(1.63)³

E≈0.80

نتیجه

انرژی تقریبی حالت پایه برابر است با:

E₀≈0.80

سؤال

برای نوسانگر ناهماهنگ

V(x)=x²+0.2x⁶

و تابع موج آزمایشی

ψ=e^-αx²/2

انرژی حالت پایه را با روش وردشی محاسبه کنید.

پاسخ

با استفاده از مقادیر امیدی و کمینه کردن انرژی نسبت به α:

α≈1.63

E₀≈0.80