ریاضیات

انرژی حالت پایه اتم هلیوم

اتم هلیوم دارای دو الکترون و یک هسته با بار +2e است. برخلاف اتم
هیدروژن، وجود دو الکترون باعث می‌شود علاوه بر جاذبه هسته و الکترون،
دافعه بین دو الکترون نیز در محاسبات انرژی نقش مهمی داشته باشد.
به همین دلیل معادله شرودینگر برای اتم هلیوم به صورت دقیق حل‌پذیر نیست
و از روش‌های تقریبی استفاده می‌شود.

انرژی حالت پایه تجربی

انرژی حالت پایه اتم هلیوم از داده‌های تجربی برابر است با:

E₀ = -79.0 eV

یا معادل:

E₀ = -2.9037 Hartree

مثال ۱: تقریب بدون در نظر گرفتن دافعه الکترون‌ها

اگر برهم‌کنش بین دو الکترون را نادیده بگیریم، هر الکترون مانند یک
الکترون در یون He⁺ رفتار می‌کند.

E = -13.6 Z²

برای هلیوم (Z=2):

E = -13.6 × 2²
= -54.4 eV

از آنجا که دو الکترون وجود دارد:

E_کل = 2 × (-54.4)
= -108.8 eV

این مقدار از مقدار واقعی بسیار بزرگ‌تر است، زیرا دافعه بین الکترون‌ها
نادیده گرفته شده است.

مثال ۲: روش بار مؤثر (Effective Nuclear Charge)

در این روش اثر پوششی الکترون‌ها در نظر گرفته می‌شود و بار مؤثر هسته
تقریباً برابر است با:

Z_eff = 27/16 = 1.6875

انرژی هر الکترون:

E = -13.6 × Z_eff²

E = -13.6 × (1.6875)²
= -38.7 eV

برای دو الکترون:

E_کل = 2 × (-38.7)
= -77.4 eV

این نتیجه به مقدار واقعی نزدیک‌تر است.

مثال ۳: روش وردشی ریتس

در روش وردشی، تابع موج آزمایشی انتخاب شده و پارامترهای آن طوری تنظیم
می‌شوند که انرژی کمینه شود.

برای تابع موج هیدروژن‌مانند:

ψ = e^-Z'r

با کمینه‌سازی انرژی نسبت به Z' خواهیم داشت:

Z' = 27/16

و انرژی حالت پایه:

E ≈ -77.5 eV

که تنها حدود 2 درصد با مقدار تجربی اختلاف دارد.

مثال ۴: مقایسه نتایج روش‌ها

سؤال

اگر انرژی یون He⁺ برابر 54.4- eV باشد، در تقریب بدون
برهم‌کنش الکترون‌ها انرژی کل اتم هلیوم چقدر خواهد بود؟

پاسخ

E = 2 × (-54.4)
= -108.8 eV

بنابراین انرژی تقریبی حالت پایه هلیوم در این مدل برابر
108.8- الکترون‌ولت است.