ریاضیات

انرژی حالت پایه اتم هلیوم با روش‌های مختلف

اتم هلیوم دارای دو الکترون است و به دلیل وجود دافعه بین الکترون‌ها،

حل دقیق معادله شرودینگر برای آن امکان‌پذیر نیست. بنابراین از روش‌های

تقریبی مختلف برای محاسبه انرژی حالت پایه استفاده می‌شود.

1- تقریب هیدروژن‌گونه (بدون در نظر گرفتن دافعه الکترون‌ها)

انرژی هر الکترون در یون هلیوم‌مانند:

E = -13.6 Z² eV

برای هلیوم:

Z = 2

E = -13.6 × 4

E = -54.4 eV

چون دو الکترون وجود دارد:

Etotal = 2 × (-54.4)

Etotal = -108.8 eV

این مقدار بسیار بزرگ‌تر از مقدار واقعی است زیرا دافعه الکترونی نادیده

گرفته شده است.

2- روش وردشی ریتس با بار مؤثر

تابع موج آزمایشی:

Ψ = exp[-Zeff(r₁+r₂)]

انرژی وردشی:

E(Zeff)=Zeff²-4ZZeff+(5/8)Zeff

شرط کمینه:

dE/dZeff = 0

برای هلیوم:

Z = 2

Zeff = 27/16

Zeff = 1.6875

جایگذاری:

E = -2.8477 Hartree

تبدیل به الکترون‌ولت:

1 Hartree = 27.2114 eV

E = -77.5 eV

3- روش هارتری

در روش هارتری هر الکترون در میدان متوسط الکترون دیگر حرکت می‌کند.

معادله:

[-(1/2)∇² + Veff]ψ = Eψ

نتیجه عددی:

E ≈ -77.7 eV

4- روش هارتری–فاک

در این روش علاوه بر دافعه کولنی، اثر تبادل نیز لحاظ می‌شود.

معادله کلی:

Fφi = εiφi

که F عملگر فاک است.

انرژی محاسبه‌شده:

EHF ≈ -77.86 eV

5- مقدار تجربی

انرژی یونش اول هلیوم:

24.587 eV

انرژی یونش دوم:

54.418 eV

در نتیجه:

Eexact =

-(24.587 + 54.418)

Eexact = -79.005 eV

مقایسه روش‌ها

نتیجه

هرچه اثرات دافعه و تبادل الکترون‌ها دقیق‌تر در نظر گرفته شوند،

انرژی محاسبه‌شده به مقدار واقعی نزدیک‌تر می‌شود. روش هارتری–فاک

نسبت به تقریب وردشی ساده دقت بیشتری دارد، اما بهترین نتایج با

روش‌های پیشرفته‌تر همبستگی الکترونی حاصل می‌شوند.