ریاضیات

اگر می‌خواهید این مطلب را در بلاگفا منتشر کنید، می‌توانید از HTML سادهٔ زیر استفاده کنید:

مقایسه معادله شرودینگر در هیدروژن و هلیم

مقایسه معادله شرودینگر برای اتم هیدروژن و هلیم نشان می‌دهد که چرا هیدروژن به صورت دقیق حل می‌شود اما هلیم نیاز به روش‌های تقریبی دارد.

1. اتم هیدروژن (یک الکترون)

هیدروژن تنها یک الکترون دارد که در میدان الکتریکی هسته حرکت می‌کند.

[-ħ²/(2m) ∇² - e²/(4πε₀r)] ψ = Eψ

در این معادله:

• m جرم الکترون است.
• r فاصله الکترون از هسته است.
• جمله دوم انرژی پتانسیل کولنی را نشان می‌دهد.

ویژگی‌ها:

• معادله دقیقاً قابل حل است.
• تابع موج به صورت تحلیلی به دست می‌آید.
• سطوح انرژی مشخص هستند.

E(n) = -13.6 / n² eV

2. اتم هلیم (دو الکترون)

هلیم دارای دو الکترون است و هر دو تحت تأثیر هسته و همچنین یکدیگر قرار دارند.

[-ħ²/(2m)(∇₁²+∇₂²) -2e²/(4πε₀r₁) -2e²/(4πε₀r₂) +e²/(4πε₀r₁₂)] Ψ = EΨ

در این معادله:

• r₁ فاصله الکترون اول از هسته است.
• r₂ فاصله الکترون دوم از هسته است.
• r₁₂ فاصله بین دو الکترون است.

وجود جمله دافعه بین دو الکترون باعث می‌شود معادله به صورت دقیق قابل حل نباشد.

3. مقایسه هیدروژن و هلیم

4. پادمتقارن بودن تابع موج در هلیم

از آنجا که الکترون‌ها فرمیون هستند، تابع موج کل باید تحت جابه‌جایی دو الکترون پادمتقارن باشد:

Ψ(1,2) = -Ψ(2,1)

این شرط برای هیدروژن مطرح نیست زیرا تنها یک الکترون وجود دارد.

نتیجه‌گیری

هیدروژن یک مسئله تک‌الکترونی است و معادله شرودینگر آن به طور دقیق حل می‌شود. اما هلیم یک مسئله دو‌الکترونی است و به دلیل دافعه بین الکترون‌ها، برای محاسبه تابع موج و انرژی باید از روش‌های تقریبی مانند هارتری، هارتری-فاک و روش‌های عددی استفاده کرد.

این کد با ویرایشگر HTML بلاگفا سازگار است و به‌صورت یک مقالهٔ مرتب نمایش داده می‌شود.