ریاضیات

فاصله‌ی انرژی‌ها با فرمول و مثال

در فیزیک کوانتومی، انرژی یک ذره در بسیاری از سیستم‌ها فقط می‌تواند مقادیر مشخص و گسسته‌ای داشته باشد.
به اختلاف بین دو تراز انرژی، فاصله‌ی انرژی یا اختلاف انرژی می‌گوییم.

ΔE = E₂ - E₁

اگر ذره از تراز پایین‌تر به تراز بالاتر برود، باید این مقدار انرژی را جذب کند؛
و اگر از تراز بالاتر به پایین‌تر بیاید، همین مقدار انرژی را به صورت تابش یا روش‌های دیگر آزاد می‌کند.

1) فرمول کلی فاصله‌ی انرژی

اگر دو تراز انرژی
E_m
و
E_n
را داشته باشیم، فاصله‌ی انرژی بین آن‌ها برابر است با:

ΔE = E_n - E_m

اگر
E_n > E_m
باشد، این مقدار مثبت است و نشان می‌دهد که برای رفتن از حالت
m
به حالت
n
باید انرژی جذب شود.

2) مثال اول: ذره در جعبه‌ی یک‌بعدی

برای یک ذره در جعبه‌ی یک‌بعدی با طول
L
، ترازهای انرژی برابرند با:

E_n = n²π²ħ² / 2mL²

که در آن:

• n = 1,2,3,... عدد کوانتومی است.


• m جرم ذره است.


• L طول جعبه است.

بنابراین فاصله‌ی انرژی بین دو تراز
n
و
m
برابر می‌شود با:

ΔE = E_n - E_m
= (π²ħ² / 2mL²) (n² - m²)

مثال:

فاصله‌ی انرژی بین حالت پایه
n=1
و اولین حالت برانگیخته
n=2
:

E₁ = π²ħ² / 2mL²

E₂ = 4π²ħ² / 2mL²

ΔE = E₂ - E₁
= 3π²ħ² / 2mL²

3) مثال دوم: نوسانگر هماهنگ کوانتومی

برای نوسانگر هماهنگ کوانتومی، ترازهای انرژی به صورت زیر هستند:

E_n = (n + 1/2)ħω

در اینجا:

• n = 0,1,2,...


• ω فرکانس زاویه‌ای نوسان است.

فاصله‌ی انرژی بین دو تراز پیاپی:

ΔE = E_n+1 - E_n = ħω

پس در نوسانگر هماهنگ، همه‌ی فاصله‌های بین ترازهای متوالی با هم برابرند.

مثال:

E₀ = 1/2 ħω

E₁ = 3/2 ħω

ΔE = E₁ - E₀ = ħω

4) مثال سوم: اتم هیدروژن

ترازهای انرژی اتم هیدروژن به صورت زیر داده می‌شوند:

E_n = -13.6 / n² \; eV

مثلاً:

E₁ = -13.6 \; eV

E₂ = -3.4 \; eV

پس فاصله‌ی انرژی بین این دو تراز:

ΔE = E₂ - E₁
= (-3.4) - (-13.6)
= 10.2 \; eV

یعنی برای بردن الکترون از حالت پایه به تراز دوم، باید
10.2 eV
انرژی به آن داده شود.

5) ارتباط فاصله‌ی انرژی با فرکانس تابش

اگر ذره‌ای هنگام گذار بین دو تراز، فوتونی جذب یا گسیل کند، انرژی فوتون با فاصله‌ی انرژی برابر است:

ΔE = hν = ħω

که در آن:

• h ثابت پلانک


• ν فرکانس


• ω فرکانس زاویه‌ای

بنابراین هر چه فاصله‌ی انرژی بزرگ‌تر باشد، فرکانس نور مربوطه نیز بزرگ‌تر خواهد بود.

6) نتیجه‌گیری

• فاصله‌ی انرژی برابر اختلاف دو تراز انرژی است.


• فرمول کلی آن
  ΔE = E_n - E_m
  است.


• در ذره در جعبه، فاصله‌ی انرژی‌ها به مجذور عددهای کوانتومی بستگی دارد.


• در نوسانگر هماهنگ، فاصله‌ی بین ترازهای پیاپی همیشه ثابت و برابر
  ħω
  است.


• در اتم هیدروژن، فاصله‌ی انرژی‌ها یکنواخت نیست.


• فاصله‌ی انرژی با انرژی فوتون جذب‌شده یا گسیل‌شده برابر است.