ریاضیات

تقارن، نظریه گروه‌ها و قوانین پایستگی

موضوعی که مطرح کردید، یکی از بنیادی‌ترین و زیباترین مفاهیم در فیزیک مدرن و ریاضیات است.
در واقع، پیوند میان تقارن (Symmetry)، نظریه گروه‌ها (Group Theory) و
قوانین پایستگی (Conservation Laws)، سنگ‌بنای فیزیک ذرات و مکانیک کوانتومی است.

در ادامه، این مفاهیم را به‌صورت دسته‌بندی‌شده بررسی می‌کنیم.

۱. تعریف تقارن: ناوردایی (Invariance)

همان‌طور که اشاره کردید، تقارن یعنی انجام یک «عمل» یا «تحول» (Transformation) روی یک سیستم،
به‌طوری که یک یا چند ویژگی آن سیستم تغییر نکند. به ویژگی‌ای که ثابت می‌ماند، ناوردا می‌گوییم.

بنابراین، هرگاه پس از یک تبدیل، سیستم از نظر فیزیکی یا هندسی همان سیستم قبلی باشد،
می‌گوییم آن سیستم نسبت به آن تبدیل، دارای تقارن است.

۲. مثال مثلث متساوی‌الاضلاع و گروه تقارنی آن

برای روشن شدن مفهوم، مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر بگیرید که رأس‌های آن را با
A ، B و C نام‌گذاری کرده‌ایم.

• 
  چرخش ۱۲۰ درجه:
  اگر مثلث را حول مرکز آن ۱۲۰ درجه پادساعت‌گرد بچرخانیم، جای رأس‌ها عوض می‌شود:
  
  
  A → B ، B → C ، C → A
  
  
  اما شکل نهایی همچنان دقیقاً بر خودش منطبق است. پس این یک عمل تقارن است.
• 
  بازتاب:
  اگر مثلث را نسبت به یکی از محورهای تقارن آن بازتاب دهیم، باز هم شکل کلی تغییر نمی‌کند
  و مثلث بر خودش منطبق می‌شود. این نیز یک عمل تقارن است.

مجموعه تمام این اعمال، یعنی:

• چرخش ۰ درجه


• چرخش ۱۲۰ درجه


• چرخش ۲۴۰ درجه


• سه بازتاب مختلف

یک گروه تقارنی تشکیل می‌دهد که برای مثلث متساوی‌الاضلاع معمولاً با
D3 نشان داده می‌شود.

۳. نظریه گروه‌ها: زبان ریاضی تقارن

در ریاضیات، هر مجموعه‌ای از اعمال که چهار خاصیت زیر را داشته باشد، یک گروه نامیده می‌شود:

1. 
   بستگی:
   اگر دو عمل تقارنی را پشت سر هم انجام دهیم، نتیجه باید باز هم یک عمل تقارنی از همان مجموعه باشد.
   
   
   مثال: دو بار چرخش ۱۲۰ درجه، معادل چرخش ۲۴۰ درجه است.
2. 
   وجود عضو همانی:
   باید عملی وجود داشته باشد که هیچ تغییری ایجاد نکند.
   
   
   مثل چرخش ۰ درجه یا ۳۶۰ درجه.
3. 
   وجود معکوس:
   برای هر عمل تقارن، باید یک عمل معکوس وجود داشته باشد که سیستم را به حالت اول بازگرداند.
   
   
   مثلاً معکوس چرخش ۱۲۰ درجه، چرخش منفی ۱۲۰ درجه یا همان ۲۴۰ درجه است.
4. 
   شرکت‌پذیری:
   اگر چند عمل را با هم ترکیب کنیم، نحوه دسته‌بندی آن‌ها نباید در نتیجه نهایی اثر بگذارد.

به این ترتیب، نظریه گروه‌ها در واقع زبان دقیق ریاضی برای توصیف تقارن‌هاست.

۴. نمایش ماتریسی گروه‌های تقارنی

یکی از نکات بسیار مهم این است که اعضای یک گروه تقارنی را می‌توان با ماتریس نمایش داد.
به این کار نمایش ماتریسی گروه می‌گویند.

یعنی هر عمل تقارن را می‌توان به یک ماتریس نسبت داد، به‌طوری که ترکیب دو عمل،
معادل ضرب دو ماتریس باشد.

به‌صورت نمادین:

D(RiRj) = D(Ri)D(Rj)

برای مثال، ماتریس دوران در صفحه به زاویه θ برابر است با:

R(θ) =


[ cosθ -sinθ ]


[ sinθ cosθ ]

این نمایش‌ها در فیزیک کوانتومی و فیزیک ذرات اهمیت بسیار زیادی دارند.

۵. گروه‌های O(n)، SO(n)، U(n) و SU(n)

در مباحث پیشرفته‌تر، گروه‌های مهمی مطرح می‌شوند که در فیزیک کاربرد گسترده دارند:

• 
  O(n):
  مجموعه همه ماتریس‌های حقیقی n×n متعامد که شرط زیر را ارضا می‌کنند:
  
  
  ATA = I
• 
  SO(n):
  زیرگروه O(n) که علاوه بر متعامد بودن، دترمینان آن برابر ۱ است:
  
  
  det(A) = 1
  
  
  این گروه بیانگر دوران‌های خالص است.
• 
  U(n):
  مجموعه ماتریس‌های مختلط یکانی که شرط زیر را دارند:
  
  
  U†U = I
• 
  SU(n):
  زیرگروه U(n) که دترمینان آن برابر ۱ است:
  
  
  det(U) = 1

در فیزیک ذرات، گروه‌های SU(2) و SU(3) بسیار مهم هستند:

• SU(2) در توصیف اسپین و برهم‌کنش ضعیف نقش دارد.


• SU(3) در توصیف رنگ کوارک‌ها و برهم‌کنش قوی به‌کار می‌رود.

۶. قوانین پایستگی و قضیه نوتر

یکی از عمیق‌ترین نتایج فیزیک نظری، قضیه نوتر است.
این قضیه بیان می‌کند که هر تقارن پیوسته در طبیعت،
متناظر با یک قانون پایستگی است.

۷. جمع‌بندی

وقتی می‌گوییم در یک چرخش ۱۲۰ درجه، «شکل نهایی تغییر نمی‌کند»،
یعنی سیستم نسبت به آن تحول ناوردا است.
مجموعه همه این تبدیلات، یک گروه تقارنی تشکیل می‌دهد.

این گروه را می‌توان به‌صورت ماتریسی نمایش داد و همین موضوع،
راه را برای استفاده از نظریه گروه‌ها در فیزیک مدرن باز می‌کند.

در نهایت، طبق قضیه نوتر، تقارن فقط یک مفهوم هندسی نیست،
بلکه مستقیماً با قوانین پایستگی در طبیعت پیوند دارد.
به همین دلیل، تقارن یکی از اساسی‌ترین مفاهیم در فیزیک ذرات، مکانیک کوانتومی
و نظریه میدان‌ها محسوب می‌شود.