ریاضیات

```html

جواب ویژه و مقدار ویژه اتم هلیوم بدون رانش الکترون‌ها

اگر در اتم هلیوم، رانش (دافعه) بین دو الکترون را نادیده بگیریم، مسئله بسیار ساده‌تر می‌شود.

در این حالت هر الکترون فقط میدان هسته با بار +2e را احساس می‌کند و سیستم به صورت

دو الکترون مستقل در یک پتانسیل کولنی در نظر گرفته می‌شود.

۱) هامیلتونی بدون رانش الکترون–الکترون

H = H(1) + H(2)

که در آن:

H(i) = −(ħ² / 2m) ∇i2 − (2e² / 4πϵ0 ri)

چون جمله‌ی رانش الکترون‌ها حذف شده است، هامیلتونی به صورت مجموع دو هامیلتونی تک‌ذره‌ای درمی‌آید.

۲) معادله‌ی ویژه

معادله‌ی شرودینگر مستقل از زمان به صورت زیر است:

H ψ(r1, r2) = E ψ(r1, r2)

چون دو الکترون مستقل هستند، جواب ویژه به صورت حاصل‌ضرب توابع موج تک‌الکترونی نوشته می‌شود:

ψ(r1, r2) = φn₁l₁m₁(r1) φn₂l₂m₂(r2)

که هر کدام از این توابع، جواب معادله‌ی اتم هیدروژن‌مانند با Z=2 هستند.

۳) مقدار ویژه‌ی انرژی

چون هامیلتونی جمع دو بخش مستقل است، مقدار ویژه‌ی کل برابر جمع انرژی‌های تک‌الکترونی خواهد بود:

E = En₁ + En₂

و برای هر الکترون:

En = − (Z² × 13.6) / n² eV

برای هلیوم، Z=2، پس:

En = −54.4 / n² eV

بنابراین مقدار ویژه‌ی کلی سیستم:

E = −54.4 ( 1 / n₁² + 1 / n₂² ) eV

۴) حالت پایه

در حالت پایه، هر دو الکترون در تراز 1s قرار می‌گیرند:

ψ0(r1, r2) = φ100(r1) φ100(r2)

و مقدار ویژه‌ی انرژی حالت پایه:

E0 = 2 × (−54.4) = −108.8 eV

۵) نکته‌ی مهم درباره‌ی تابع موج کل

چون الکترون‌ها فرمیون هستند، تابع موج کل باید پادمتقارن باشد. بنابراین در حالت پایه،

چون بخش فضایی متقارن است، بخش اسپینی باید ضدمتقارن باشد:

χ = (1/√2) [ α(1)β(2) − β(1)α(2) ]

پس تابع موج کامل حالت پایه از ضرب بخش فضایی و بخش اسپینی به‌دست می‌آید.

جمع‌بندی نهایی

• جواب ویژه: حاصل‌ضرب دو تابع موج هیدروژن‌مانند با Z=2

• مقدار ویژه: جمع دو انرژی تک‌الکترونی

• فرمول انرژی: E = −54.4(1/n₁² + 1/n₂²) eV

• انرژی حالت پایه: −108.8 eV

```