ریاضیات

```html

اتم هلیوم با در نظر گرفتن دافعه (رانش) الکترون‌ها

اتم هلیوم (He) دارای ۲ پروتون در هسته و (در حالت خنثی) ۲ الکترون است.
در هلیومِ واقعی، هر الکترون فقط جذب هسته را حس نمی‌کند؛ بلکه الکترون‌ها همدیگر را دفع می‌کنند.
به این دافعه، برهم‌کنش/رانش الکترون–الکترون گفته می‌شود و همین موضوع مسئله‌ی هلیوم را از
«هیدروژن‌مانند» بودن خارج می‌کند.

۱) هامیلتونی هلیوم (با رانش الکترون‌ها)

در مدل کوانتومیِ غیرنسبیتی (تقریب شرودینگر)، انرژی کل سیستم از سه بخش اصلی تشکیل می‌شود:
انرژی جنبشی دو الکترون، جذب هر الکترون به هسته، و دافعه‌ی بین دو الکترون.

H =
−(ħ²/2m)(∇1² + ∇2²)
− (2e²/4πϵ0)(1/r1 + 1/r2)
+ (e²/4πϵ0) (1/r12)

در این رابطه:
r1 و r2 فاصله‌ی هر الکترون تا هسته و
r12 فاصله‌ی دو الکترون از یکدیگر است.
جمله‌ی آخر + 1/r12 همان رانش (دافعه) الکترون–الکترون است.

۲) اثر رانش الکترون‌ها: «پوشش‌دهی» و Z مؤثر

دافعه‌ی الکترون‌ها باعث می‌شود هر الکترون، هسته را «کم‌بارتر» از مقدار واقعیِ +۲ حس کند.
به این پدیده پوشش‌دهی (Screening) می‌گویند و معمولاً آن را با یک عدد به نام
Z مؤثر نشان می‌دهند:

Zeff = Z − σ

برای هلیوم، Z=2 است اما به خاطر حضور الکترون دوم، هر الکترون معمولاً چیزی نزدیک به
Zeff ≈ 1.7 تا 1.8 را حس می‌کند (بسته به روش تقریب).

۳) حالت پایه و اسپین (نقش اصل پائولی)

آرایش حالت پایه‌ی هلیوم همچنان 1s2 است (هر دو الکترون در اوربیتال 1s).
اما چون الکترون‌ها فرمیون هستند، باید اصل پائولی رعایت شود؛ بنابراین در حالت پایه،
دو الکترون با اسپین مخالف قرار می‌گیرند و حالت اسپینیِ کل، تکینه (Singlet) است.

۴) چرا حل دقیق سخت می‌شود؟

اگر دافعه‌ی الکترون–الکترون نبود، مسئله به دو ذره‌ی مستقل تبدیل می‌شد (مثل دو اتم هیدروژن‌مانند با Z=2).
اما وجود جمله‌ی 1/r12 باعث می‌شود حرکت دو الکترون به هم وابسته شود
و دیگر نتوانیم خیلی ساده تابع موج را «جداپذیر» بنویسیم. به همین دلیل برای هلیوم واقعی
معمولاً از روش‌های تقریبی مثل واریاشی (Variational)، اختلال (Perturbation)،
یا Hartree-Fock استفاده می‌کنند.

۵) مقایسه‌ی انرژی (ایده‌ی کلی)

در مدلِ «بدون رانش»، انرژی حالت پایه خیلی بیشتر منفی به‌دست می‌آید (اتم خیلی محکم‌تر بسته می‌شود).
اما در هلیوم واقعی، رانش الکترون‌ها انرژی را بالاتر می‌برد (کمتر منفی می‌کند).

• 
  بدون رانش: انرژی حالت پایه تقریباً −108.8 eV


• 
  با رانش (واقعی): انرژی حالت پایه حدود −79 eV

اگر دوست دارید، می‌توانم یک نسخه‌ی «ساده‌تر» (بدون فرمول‌های سنگین) یا نسخه‌ی «دانشگاهی‌تر»
با توضیح روش واریاشی و محاسبه‌ی تقریبی Zeff هم آماده کنم.

```