دو الکترون با اسپین یکسان در چاه پتانسیل نامتناهی
چاه پتانسیل نامتناهی یک‌بعدی را در بازه‌ی
0 در نظر می‌گیریم: V(x)= { 0 0 ∞ x≤0 , x≥L } توابع ویژه و مقادیر ویژه‌ی انرژی برای یک ذره در این چاه برابرند با: u_n(x)=√(2/L) sin(nπx/L) E_n = n2π2ħ2 / 2mL2 1) کمترین انرژی سیستم چون دو الکترون اسپین یکسان دارند، بخش اسپینی متقارن است؛ بنابراین بخش مکانی باید پادمتقارن باشد. پس دو ذره نمی‌توانند هر دو در حالت n=1 قرار بگیرند. در نتیجه، در کمترین انرژی ممکن: بنابراین انرژی حالت پایه برابر است با: E0 = E1 + E2 E0 = π2ħ2 / 2mL2 + 4π2ħ2 / 2mL2 = 5π2ħ2 / 2mL2 پس کمترین انرژی سیستم: Eground = 5π2ħ2 / 2mL2 2) ویژه‌تابع حالت پایه تابع موج تک‌ذره‌ای دو حالت اول: u1(x)=√(2/L) sin(πx/L) u2(x)=√(2/L) sin(2πx/L) چون اسپین‌ها یکسان‌اند، تابع موج مکانی باید پادمتقارن باشد. پس ویژه‌تابع مکانی حالت پایه به صورت دترمینان اسلیتر نوشته می‌شود: ψ0(x1,x2) = (1/√2) [ u1(x1)u2(x2) - u1(x2)u2(x1) ] با جایگذاری: ψ0(x1,x2) = (√2/L) [ sin(πx1/L)sin(2πx2/L) - sin(πx2/L)sin(2πx1/L) ] و تابع موج کل: Ψ0(x1,s1;x2,s2) = ψ0(x1,x2) α(s1)α(s2) 3) اولین حالت برانگیخته برای اولین حالت برانگیخته، باید آرایش بعدیِ مجاز را در نظر بگیریم. چون دو ذره با اسپین یکسان نمی‌توانند در یک تراز یکسان باشند، بعد از آرایش (n1,n2)=(1,2) ، کم‌انرژی‌ترین آرایش بعدی برابر است با: (n1,n2)=(1,3) پس انرژی اولین حالت برانگیخته: E1st exc = E1 + E3 E1st exc = π2ħ2 / 2mL2 + 9π2ħ2 / 2mL2 = 10π2ħ2 / 2mL2 یعنی: E1st exc = 5π2ħ2 / mL2 4) تابع موج اولین حالت برانگیخته تابع موج مکانی اولین حالت برانگیخته نیز باید پادمتقارن باشد: ψ1(x1,x2) = (1/√2) [ u1(x1)u3(x2) - u1(x2)u3(x1) ] که در آن: u3(x)=√(2/L) sin(3πx/L) پس: ψ1(x1,x2) = (√2/L) [ sin(πx1/L)sin(3πx2/L) - sin(πx2/L)sin(3πx1/L) ] و تابع کل: Ψ1(x1,s1;x2,s2) = ψ1(x1,x2) α(s1)α(s2) 5) جمع‌بندی نهایی برای دو الکترونِ بدون برهم‌کنش با اسپین یکسان در چاه نامتناهی: انرژی حالت پایه: E0=E1+E2=5π2ħ2 / 2mL2 تابع موج حالت پایه: ψ0(x1,x2)= (1/√2)[u1(x1)u2(x2)-u1(x2)u2(x1)] انرژی اولین حالت برانگیخته: E1=E1+E3=10π2ħ2 / 2mL2 تابع موج اولین حالت برانگیخته: ψ1(x1,x2)= (1/√2)[u1(x1)u3(x2)-u1(x2)u3(x1)]
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.