در یک مثال، تابع موج حالت پایه‌ی دو الکترونِ بدون برهم‌کنش با اسپین یکسان را در چاه پتانسیل نامتناهی
در یک مثال، تابع موج حالت پایه‌ی دو الکترونِ بدون برهم‌کنش با اسپین یکسان را در چاه پتانسیل نامتناهی مربعی یک‌بعدی به‌صورت مناسب برای بلاگفا می‌نویسیم.
1) تعریف چاه پتانسیل نامتناهی
چاه را در بازه‌ی
0
در نظر می‌گیریم:
V(x)=
{ 0 0
∞ x≤0 , x≥b }
در نتیجه، ذره فقط در داخل چاه حضور دارد و تابع موج در بیرون چاه صفر است.
ϕ(x)=0 برای x≤0 یا x≥b
2) حالت‌های تک‌ذره‌ای
برای چاه نامتناهی، توابع ویژه‌ی تک‌ذره‌ای برابرند با:
ϕn(x)=√(2/b) sin(nπx/b) , n=1,2,3,...
و انرژی‌های متناظر:
En=n2π2ħ2 / 2mb2
پس دو حالت اول تک‌ذره‌ای عبارت‌اند از:
حالت اول
ϕ1(x)=√(2/b) sin(πx/b)
E1=π2ħ2 / 2mb2
حالت دوم
ϕ2(x)=√(2/b) sin(2πx/b)
E2=4π2ħ2 / 2mb2
3) تابع موج کل دو الکترون با اسپین یکسان
اگر هر دو الکترون مثلاً اسپین بالا داشته باشند، بخش اسپینی به صورت
χ(s1,s2)=α(s1)α(s2)
است که تابعی متقارن است.
بنابراین طبق اصل طرد پائولی، بخش مکانی باید پادمتقارن باشد.
در نتیجه، تابع موج مکانی از دترمینان اسلیتر دو حالت اول به‌دست می‌آید:
ψ0(x1,x2)=
(1/√2)
[ ϕ1(x1)ϕ2(x2)
- ϕ1(x2)ϕ2(x1) ]
و تابع موج کل برابر است با:
Ψ0(x1,s1;x2,s2)
=
ψ0(x1,x2) α(s1)α(s2)
4) نوشتن صریح تابع موج مکانی
با جایگذاری
ϕ1
و
ϕ2
داریم:
ψ0(x1,x2)
=
(1/√2)
[ √(2/b)sin(πx1/b) . √(2/b)sin(2πx2/b)
- √(2/b)sin(πx2/b) . √(2/b)sin(2πx1/b) ]
پس:
ψ0(x1,x2)
=
(√2 / b)
[ sin(πx1/b)sin(2πx2/b)
- sin(πx2/b)sin(2πx1/b) ]
5) فرم قطعه‌ای تابع موج
چون چاه نامتناهی است، تابع موج فقط وقتی ناصفر است که هر دو ذره داخل چاه باشند.
حالت داخل چاه
اگر
0
و
0
باشد:
ψ0(x1,x2)
=
(√2 / b)
[ sin(πx1/b)sin(2πx2/b)
- sin(πx2/b)sin(2πx1/b) ]
حالت بیرون از چاه
اگر حداقل یکی از دو مختصه خارج از بازه‌ی
0
باشد، تابع موج صفر است:
ψ0(x1,x2)=0
بنابراین می‌توان فرم قطعه‌ای را به‌صورت زیر نوشت:
ψ0(x1,x2) =
{
(√2 / b)
[ sin(πx1/b)sin(2πx2/b)
- sin(πx2/b)sin(2πx1/b) ]
0
0 در غیر این صورت
}
6) انرژی حالت پایه
چون الکترون‌ها با هم برهم‌کنش ندارند، انرژی کل برابر مجموع انرژی‌های تک‌ذره‌ای است:
E0=E1+E2
E0 =
π2ħ2 / 2mb2
+
4π2ħ2 / 2mb2
=
5π2ħ2 / 2mb2
7) نتیجه نهایی
برای دو الکترونِ بدون برهم‌کنش با اسپین یکسان در چاه پتانسیل نامتناهی یک‌بعدی، چون بخش اسپینی متقارن است، بخش مکانی باید پادمتقارن باشد.
بنابراین حالت پایه‌ی سیستم با قرار گرفتن دو ذره در دو تراز اول تک‌ذره‌ای ساخته می‌شود و تابع موج مکانی آن به صورت دترمینان اسلیتر نوشته می‌شود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.