ریاضیات

تابع موج حالت پایه‌ی دو الکترونِ بدون برهم‌کنش با اسپین یکسان در چاه پتانسیل متناهی مربعی یک‌بعدی را به‌صورت کاملاً قطعه‌ای برای نواحی مختلف (x1, x2) می‌نویسیم.

1) چاه متناهی و حالت‌های تک‌ذره‌ای

V(x)=

{ -V0 |x|
0 |x|>a }


a=b/2

حالت‌های مقید:
-V0 < E < 0

kn = √[2m(En+V0)] / ħ


κn = √[-2mEn] / ħ

حالت اول (زوج) ϕ1

ϕ1(x)=N1 {

cos(k1x) |x|
cos(k1a)e-κ1(|x|-a) |x|>a

}

شرط انرژی:

k1 tan(k1a)=κ1

حالت دوم (فرد) ϕ2

ϕ2(x)=N2 {

sin(k2x) |x|
sgn(x) sin(k2a)e-κ2(|x|-a) |x|>a

}

شرط انرژی:

-k2 cot(k2a)=κ2

2) تابع موج کل دو الکترون (اسپین یکسان)

اگر هر دو اسپین بالا باشند:

χ(s1,s2)=α(s1)α(s2)

که تابعی متقارن است.
پس بخش مکانی باید پادمتقارن باشد (دترمینان اسلیتر دوحالته):

ψ0(x1,x2) = (1/√2)
[ ϕ1(x1)ϕ2(x2) - ϕ1(x2)ϕ2(x1) ]

و تابع موج کل:

Ψ0(x1,s1; x2,s2) =
ψ0(x1,x2) α(s1)α(s2)

3) نوشتن کاملاً قطعه‌ای ψ0(x1,x2)

برای راحتی، سه تابع کمکی تعریف می‌کنیم:

In(x)=

{ cos(k1x) n=1 , |x|
sin(k2x) n=2 , |x|

O1(x)=cos(k1a)e-κ1(|x|-a) (|x|>a)

O2(x)=sgn(x)sin(k2a)e-κ2(|x|-a) (|x|>a)

پس:

• اگر |x|ϕ1(x)=N1cos(k1x) و
  ϕ2(x)=N2sin(k2x)
• اگر |x|>a، آنگاه
  ϕ1(x)=N1O1(x) و
  ϕ2(x)=N2O2(x)

اکنون ψ0 را در چهار ناحیه‌ی مختلف می‌نویسیم:

ناحیه A: هر دو داخل چاه

(|x1|

ψ0 =
(N1N2/√2)
[ cos(k1x1)sin(k2x2)
- cos(k1x2)sin(k2x1) ]

ناحیه B: ذره 1 داخل، ذره 2 بیرون

(|x1|a)

ψ0 =
(N1N2/√2)
[ cos(k1x1)O2(x2)
- O1(x2)sin(k2x1) ]

ناحیه C: ذره 1 بیرون، ذره 2 داخل

(|x1|>a , |x2|

ψ0 =
(N1N2/√2)
[ O1(x1)sin(k2x2)
- cos(k1x2)O2(x1) ]

ناحیه D: هر دو بیرون

(|x1|>a , |x2|>a)

ψ0 =
(N1N2/√2)
[ O1(x1)O2(x2)
- O1(x2)O2(x1) ]

4) انرژی حالت پایه

چون دو الکترون بدون برهم‌کنش هستند:

E0=E1+E2

اگر چاه را در بازه‌ی 0همین روابط را می‌توان با سینوس‌های داخل چاه و نمایی‌های بیرون آن بازنویسی کرد.