ریاضیات

۹ سوال (با جواب) درباره حالت‌های اسپینیِ سینگلت و تریپلت

سوال ۱) دو ذره‌ی اسپین ۱/۲ چند حالت اسپینیِ مستقل دارند؟

جواب: هر ذره ۲ حالت دارد، پس برای دو ذره: 2×2=4 حالت مستقل داریم. این ۴ حالت به ۳ حالت تریپلت و ۱ حالت سینگلت تقسیم می‌شود (4=3+1).

سوال ۲) چرا به حالت S=1 می‌گویند «سه‌تایی»؟

جواب: تعداد حالت‌های ممکن برای یک S برابر 2S+1 است. برای S=1 داریم 2(1)+1=3، پس سه مقدار برای MS داریم: +1 ، 0 ، −1.

سوال ۳) حالت‌های تریپلت (S=1) را بنویسید.

جواب:

T+ = |↑↑|

T0 = (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|)

T− = |↓↓|

سوال ۴) حالت سینگلت (S=0) را بنویسید.

جواب:

S0 = (1/√2)(|↑↓| − |↓↑|)

سوال ۵) MS برای حالت‌های زیر را پیدا کنید:

الف) |↑↑| ب) |↓↓| ج) (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|)

جواب:

الف) MS = 1/2 + 1/2 = 1

ب) MS = −1/2 − 1/2 = −1

ج) در هر دو جمله MS=0 است، پس MS کل حالت برابر 0 است.

سوال ۶) آیا |↑↓| به تنهایی یک ویژه‌حالتِ S² است؟

جواب: خیر. |↑↓| ویژه‌حالتِ Sz هست، اما ویژه‌حالتِ S² نیست. ویژه‌حالت‌های S² ترکیب‌های متقارن/پادمتقارن هستند:

(1/√2)(|↑↓| + |↓↑|) (تریپلت) و (1/√2)(|↑↓| − |↓↑|) (سینگلت).

سوال ۷) کدام حالت‌ها تحت جابه‌جایی دو الکترون (۱ و ۲) متقارن و کدام پادمتقارن‌اند؟

جواب:

- سه‌تایی‌ها متقارن‌اند (علامت عوض نمی‌شود).

- سینگلت پادمتقارن است (علامت عوض می‌شود).

مثلاً:

T0 = (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|) → متقارن

S0 = (1/√2)(|↑↓| − |↓↑|) → پادمتقارن

سوال ۸) اگر سیستم در حالت تریپلت باشد (بخش اسپینی متقارن)، بخش فضایی تابع موج باید چه باشد؟ چرا؟

جواب: باید پادمتقارن باشد. چون برای دو الکترون (فرمیون) تابع موج کل باید پادمتقارن باشد و:

Ψtotal = Ψspace × Ψspin

پس اگر Ψspin متقارن باشد، برای پادمتقارن شدن حاصل‌ضرب، Ψspace باید پادمتقارن باشد.

سوال ۹) چرا دو الکترون در یک اوربیتال فضایی یکسان (مثل 1s) نمی‌توانند حالت تریپلت داشته باشند؟ (مثال: حالت پایه هلیوم)

جواب: اگر هر دو الکترون در یک اوربیتال یکسان φ باشند، بخش فضایی φ(r1)φ(r2) متقارن است. تریپلت هم بخش اسپینیِ متقارن دارد؛ پس تابع موج کل متقارن می‌شود، در حالی که برای الکترون‌ها باید پادمتقارن باشد. بنابراین در چنین حالتی فقط سینگلت مجاز است (مثل حالت پایه اتم هلیوم).