تمرینهای کوتاه درباره «حالت سهتایی اسپینی (Spin Triplet)» و «تکتایی (Singlet)»
(آماده برای کپی در بلاگفا)
یادآوری خیلی سریع
هر الکترون دو حالت اسپینی دارد:
- ↑ یعنی ms = +1/2
- ↓ یعنی ms = −1/2
حالتهای استاندارد دو الکترون
سهتایی (Triplet), S=1:
T+ = |↑↑|
T0 = (1/√2) (|↑↓| + |↓↑|)
T− = |↓↓|
تکتایی (Singlet), S=0:
S0 = (1/√2) (|↑↓| − |↓↑|)
تمرین ۱) چند حالت اسپینی برای دو الکترون داریم؟
سوال: دو ذرهی اسپین 1/2 چند حالت مستقل دارند؟
پاسخ: هر ذره ۲ حالت دارد، پس 2×2=4 حالت داریم. این ۴ حالت به صورت ۳ حالت سهتایی + ۱ حالت تکتایی تقسیم میشود (4=3+1).
تمرین ۲) چرا به آن «سهتایی» میگویند؟
سوال: چرا حالت S=1 سهتایی نام دارد؟
پاسخ: تعداد حالتها برابر 2S+1 است. برای S=1 میشود 3، یعنی MS میتواند +1، 0 یا −1 باشد.
تمرین ۳) مقدار MS را پیدا کنید
سوال: MS در هر حالت چیست؟
1) |↑↑|
2) |↓↓|
3) (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|)
پاسخ:
1) MS = 1/2 + 1/2 = 1
2) MS = −1/2 − 1/2 = −1
3) در هر دو جمله MS=0 است، پس کل حالت MS=0 دارد.
تمرین ۴) کدام حالتها متقارن و کدام پادمتقارن هستند؟
سوال: با جابهجا کردن دو الکترون (۱ و ۲) بررسی کنید کدام حالتها متقارناند.
پاسخ:
- سهتاییها متقارن هستند (علامت عوض نمیشود).
- تکتایی پادمتقارن است (علامت عوض میشود).
نمونه:
T0 = (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|) → متقارن
S0 = (1/√2)(|↑↓| − |↓↑|) → پادمتقارن
تمرین ۵) اگر اسپین سهتایی باشد، بخش فضایی چه باید باشد؟
سوال: چون تابع موج کلِ الکترونها باید پادمتقارن باشد، اگر بخش اسپینی متقارن باشد (تریپلت)، بخش فضایی چه میشود؟
پاسخ: باید پادمتقارن باشد تا حاصلضربِ «فضا × اسپین» پادمتقارن شود.
تمرین ۶) چرا دو الکترون در یک اوربیتال یکسان نمیتوانند تریپلت باشند؟
سوال: اگر هر دو الکترون در یک اوربیتال فضایی یکسان φ(r) باشند، چرا تریپلت مجاز نیست؟
پاسخ: در این حالت بخش فضایی φ(r1)φ(r2) با جابهجایی ذرات تغییر نمیکند (متقارن است). تریپلت هم اسپینی متقارن است، پس تابع موج کل متقارن میشود؛ در حالی که برای الکترونها باید پادمتقارن باشد. پس تریپلت در این وضعیت ممنوع است.
تمرین ۷) حالت پایهی هلیوم چرا سینگلت است؟
سوال: چرا در حالت پایهی اتم هلیوم، دو الکترون تریپلت نیستند؟
پاسخ: چون هر دو در اوربیتال 1s هستند و بخش فضایی متقارن میشود؛ بنابراین بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد، یعنی فقط سینگلت مجاز است.
تمرین ۸) آیا «یک بالا و یک پایین» یعنی حتماً سینگلت؟
سوال: آیا هر وقت دو اسپین مخالف باشند، حتماً سینگلت داریم؟
پاسخ: نه. دو ترکیب مهم داریم:
- تریپلت با MS=0: (1/√2)(|↑↓| + |↓↑|)
- سینگلت: (1/√2)(|↑↓| − |↓↑|)
پس صرفِ مخالف بودن اسپینها کافی نیست؛ علامتِ ± و نوع ترکیب مهم است.
اگر دوست دارید، میتوانم یک «آزمون ۱۰ سوالی بدون پاسخ» هم آماده کنم تا آخر پست بگذارید و پاسخها را در پست بعدی منتشر کنید.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.