چند مثال دیگر از تبدیل لورنتز ۴بُعدی
مثال ۱) رویداد در راستای x با مؤلفه‌های y و z غیرصفر
فرض کنید چارچوب S' با سرعت
v = 0.8c
در راستای x نسبت به S حرکت می‌کند.
مختصات یک رویداد در S:
t = 5 μs
x = 1500 m
y = 200 m
z = 100 m
ابتدا:
β = 0.8
γ = 1/√(1 − 0.8²) = 1.667
فرمول‌ها:
x' = γ(x − vt)
t' = γ(t − vx/c²)
y' = y
z' = z
محاسبهٔ vt:
vt = 0.8 × (3×10^8) × (5×10^-6)
= 0.8 × 1500
= 1200 m
پس:
x' = 1.667 (1500 − 1200)
= 1.667 × 300
≈ 500 m
اکنون:
x/c = 1500 / (3×10^8) s = 5 μs
در نتیجه:
vx/c² = 0.8 × 5 μs = 4 μs
و:
t' = 1.667 (5 − 4) μs = 1.667 μs
بنابراین:
t' ≈ 1.667 μs
x' ≈ 500 m
y' = 200 m
z' = 100 m
مثال ۲) وقتی رویداد روی محور y اتفاق می‌افتد
فرض کنید:
v = 0.6c
و رویداد در چارچوب S چنین باشد:
t = 4 μs
x = 0
y = 900 m
z = 0
چون حرکت نسبی فقط در راستای x است، فقط t و x به هم آمیخته می‌شوند.
ابتدا:
γ = 1.25
حال:
x' = γ(x − vt) = 1.25(0 − 0.6c × 4μs)
داریم:
0.6c × 4μs = 0.6 × 1200 = 720 m
پس:
x' = 1.25(−720) = −900 m
و چون x = 0:
t' = γ(t − 0) = 1.25 × 4μs = 5 μs
همچنین:
y' = 900 m
z' = 0
نتیجه:
t' = 5 μs
x' = −900 m
y' = 900 m
z' = 0
مثال ۳) استفاده از فرم ماتریسی ۴بُعدی
فرض کنید:
β = 0.6 ، پس γ = 1.25
و بردار رویداد در چارچوب S برابر باشد با:
X =
[ ct ]
[ x ]
[ y ]
[ z ]
=
[ 600 ]
[ 480 ]
[ 50 ]
[ 20 ]
یعنی:
ct = 600 m
x = 480 m
y = 50 m
z = 20 m
ماتریس لورنتز:
Λ =
[ 1.25 −0.75 0 0 ]
[−0.75 1.25 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
اکنون:
ct' = 1.25(600) − 0.75(480)
= 750 − 360
= 390 m
x' = −0.75(600) + 1.25(480)
= −450 + 600
= 150 m
و:
y' = 50
z' = 20
پس:
X' =
[ 390 ]
[ 150 ]
[ 50 ]
[ 20 ]
اگر بخواهیم زمان را هم به‌دست آوریم:
t' = ct'/c = 390 / (3×10^8) s = 1.3 μs
نتیجه:
t' = 1.3 μs
x' = 150 m
y' = 50 m
z' = 20 m
نکتهٔ مهم
در تبدیل لورنتز ۴بُعدی برای حرکتی که فقط روی محور x است:
- فقط ct و x تغییر ترکیبی می‌کنند.
- مؤلفه‌های y و z بدون تغییر می‌مانند.
اگر بخواهی، در پیام بعدی می‌توانم مثال ۴بُعدی سخت‌تر هم بزنم؛ مثلاً:
- محاسبهٔ ناوردا بودن فاصله‌زمان
- مثال با چهاربردار مکان
- مثال با چهارسرعت
- مثال با چهارتکانه
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.