چند مثال تستی (سبک کنکوری) از نسبیت خاص
تست ۱) اتساع زمان
یک ذره با سرعت v = 0.6c حرکت می‌کند. اگر در آزمایشگاه Δt = 10 s بگذرد، زمانِ ویژهٔ ذره Δτ چقدر است؟
حل:
γ = 1/√(1 − 0.6²) = 1/√0.64 = 1.25
Δτ = Δt/γ = 10/1.25 = 8 s
پاسخ: ۸ ثانیه
تست ۲) انقباض طول
طولِ ویژهٔ یک میله (طول در حال سکون میله) برابر L0 = 2 m است. اگر میله با سرعت v = 0.8c در راستای طولش حرکت کند، طولِ دیده‌شده در آزمایشگاه L چقدر است؟
حل:
γ = 1/√(1 − 0.8²) = 1/√0.36 = 1.6667
L = L0/γ = 2/1.6667 ≈ 1.2 m
پاسخ: حدود ۱٫۲ متر
تست ۳) نسبیت هم‌زمانی
در چارچوب S دو رویداد به طور هم‌زمان رخ می‌دهند:
Event A: tA = 0 ، xA = 0
Event B: tB = 0 ، xB = 300 m
چارچوب S' با سرعت v = 0.6c در راستای +x حرکت می‌کند. آیا این دو رویداد در S' هم‌زمان‌اند؟ اختلاف زمان Δt' = t'B − t'A را حساب کنید.
حل:
از تبدیل زمان:
t' = γ ( t − v x / c² )
برای اختلاف دو رویداد:
Δt' = γ ( Δt − v Δx / c² )
اینجا Δt=0 و Δx=300 m:
γ = 1.25
Δt' = 1.25 ( 0 − (0.6c)(300)/c² )
= 1.25 ( −0.6 × 300 / c )
و چون:
300/c = 300/(3×10^8) s = 10^-6 s = 1 μs
پس:
Δt' = 1.25 ( −0.6 × 1 μs ) = −0.75 μs
نتیجه: هم‌زمان نیستند. رویداد B در S' ۰٫۷۵ میکروثانیه زودتر از A رخ می‌دهد.
تست ۴) ترکیبی: زمانِ ویژه از روی فاصله‌زمان
دو رویداد در چارچوب S چنین‌اند:
Δt = 5 μs و Δx = 1200 m.
زمانِ ویژهٔ بین این دو رویداد (اگر مسیر ذره این دو رویداد را به هم وصل کند) چقدر است؟
حل:
از رابطهٔ فاصله‌زمان:
c²Δτ² = c²Δt² − Δx²
ابتدا cΔt:
cΔt = (3×10^8)(5×10^-6) = 1500 m
پس:
Δτ = (1/c) √( (cΔt)² − (Δx)² )
= (1/c) √(1500² − 1200²)
1500² − 1200² = 2,250,000 − 1,440,000 = 810,000
√810,000 = 900
بنابراین:
Δτ = 900 / (3×10^8) s = 3×10^-6 s = 3 μs
پاسخ: ۳ میکروثانیه
تست ۵) سرعتِ ویژه
جسمی با سرعت v = 0.8c حرکت می‌کند. سرعتِ ویژهٔ آن w چقدر است؟
حل:
γ = 1/√(1 − 0.8²) = 1.6667
w = γv = 1.6667 × 0.8c ≈ 1.333c
پاسخ: حدود 1.33c
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.