مثال ۴) زمانِ ویژه در سفر فضایی
فرض کنید یک سفینه با سرعت
v = 0.9c
از کنار زمین عبور می‌کند. ناظر زمینی می‌بیند که سفر
20
سال طول کشیده است. می‌خواهیم بدانیم برای سرنشینان سفینه چند سال گذشته است.
ابتدا ضریب لورنتز را حساب می‌کنیم:
γ = 1 / √(1 − 0.9²)
= 1 / √(1 − 0.81)
= 1 / √(0.19)
≈ 2.294
حالا:
Δτ = Δt / γ = 20 / 2.294 ≈ 8.72 year
نتیجه: در حالی که روی زمین ۲۰ سال گذشته، برای سرنشینان سفینه فقط حدود ۸٫۷۲ سال گذشته است.
مثال ۵) پیدا کردن سرعت معمولی از روی سرعت ویژه
فرض کنید سرعتِ ویژهٔ یک ذره برابر باشد با:
w = 3c
می‌خواهیم سرعت معمولی v را پیدا کنیم.
از رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم:
v = w / √(1 + (w/c)²)
جایگذاری:
v = 3c / √(1 + 9)
= 3c / √10
≈ 3c / 3.162
≈ 0.949c
نتیجه: اگر سرعت ویژه برابر 3c باشد، سرعت معمولی جسم حدود 0.95c است.
مثال ۶) تبدیل لورنتز برای یک رویداد دیگر
فرض کنید در چارچوب S مختصات یک رویداد چنین باشد:
x = 600 m
t = 4 μs
و چارچوب S' با سرعت
v = 0.8c
در راستای محور x حرکت کند. مختصات رویداد را در S' به‌دست می‌آوریم.
ابتدا:
β = 0.8
γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 1 / √(0.36) = 1.667
الف) محاسبهٔ x'
x' = γ (x − vt)
داریم:
vt = 0.8 × (3×10^8) × (4×10^-6)
= 0.8 × 1200
= 960 m
پس:
x' = 1.667 (600 − 960)
= 1.667 (−360)
≈ −600 m
ب) محاسبهٔ t'
t' = γ (t − vx/c²)
ابتدا:
x/c = 600 / (3×10^8) s = 2 μs
پس:
vx/c² = 0.8 × 2 μs = 1.6 μs
اکنون:
t' = 1.667 (4 − 1.6) μs
= 1.667 × 2.4 μs
≈ 4 μs
نتیجه:
x' ≈ −600 m
t' ≈ 4 μs
نکته
اگر بخواهی، در پیام بعدی می‌توانم مثال‌های تستی کنکوری هم با همین فرمت بلاگفا بنویسم؛
مثلاً:
- مثال از اتساع زمان
- مثال از انقباض طول
- مثال از هم‌زمانی
- مثال ترکیبی از تبدیلات لورنتز
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.