درس‌نامه هجدهم: پوشش‌های ۲-برگی، آبلی‌سازی (π1)Ab و گروه اول هومولوژی
مسائل عمیق تدریس‌شده توسط استاد: دکتر مصطفی شاهزمانیان
دیباچه: چون پرده از رویه‌های جهت‌ناپذیر برافتد، پوششی دولایه و جهت‌پذیر رخ می‌نماید که بر فراز آن گسترده است؛ گویی جهانِ پیچیده و یک‌رویه، در آسمانِ پوششیِ خویش به دو رویه متقارن و زلال بدل می‌شود. همچنین با رام ساختن روابط جابه‌جاناپذیر و گذر به ساحتِ آبلی، نخستین گروه هومولوژی چونان آینه‌ای تمام‌نما پدیدار می‌گردد.
مسئله ۱: اثبات این‌که چنبره (T2) پوشش دوبرگیِ جهت‌پذیرِ بطری کلاین (K2) است.
تحلیل ساختاری استاد شاهزمانیان:
اگر کلمه بطری کلاین را به صورت a b a-1 b در نظر گیریم، می‌توان با دو برابر کردن دامنه در جهت یال معکوس‌کننده جهت (b)، فضایی با دو مستطیل به هم چسبیده پدید آورد.
رابطه درجات پوشش و مشخصه اولر: اگر
p: X~ → Xیک نگاشت پوششی n-برگی باشد، آنگاه:χ(X~) = n · χ(X)برای پوشش ۲-برگی بطری کلاین:
χ(T2) = 2 × χ(K2) = 2 × 0 = 0که کاملاً منطبق بر مشخصه چنبره است.تفسیر زیرگروهی: گروه بنیادین بطری کلاین دارای زیرگروهی با شاخص ۲ است که ایزومورف با
Z × Z ≅ π1(T2)می‌باشد.
مسئله ۲: محاسبه گروه اول هومولوژی H1(M) از طریق قضیه هورویچ (Hurewicz Theorem)
بر طبق قضیه هورویچ، نخستین گروه هومولوژی با ضرایب صحیح، همانا آبلی‌سازی (Abelianization) گروه بنیادین است:
H1(M, Z) ≅ π1(M) / [π1(M), π1(M)]
نتایج حاصله برای سطوح استاندارد:
- کره (S2):
π1 = {1} ⇒ H1(S2) = 0 - چنبره دوحفره‌ای (M2): رابطه
[a, b][c, d] = 1در حالت آبلی به0 = 0بدل شده و گروه آزاد آبلی با ۴ مولد حاصل می‌شود:H1(M2) = Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z = Z4(و به طور کلیH1(Mg) = Z2g) - بطری کلاین (K2): رابطه
a b a-1 b = 1در حالت آبلی تبدیل می‌شود به2b = 0؛ پس:H1(K2) = Z ⊕ Z2که حامل پیچش (Torsion) درجه ۲ است.
کلام حکمت‌آمیز: بدین ترتیب هویدا می‌گردد که چگونه ابزارهای توپولوژی جبری با کشف ردپای پیچش و تقارن پوششی، پرده از اسرار نهان سطوح برداشته و هندسه را با جبر به کمال هم‌آوایی می‌رسانند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.