درس‌نامه هفدهم: تقسیم باری‌سنتریک و اثبات تغییرناپذیری مشخصه اولر
برگرفته از مباحث بنیادین و تحلیلی استاد: دکتر مصطفی شاهزمانیان
دیباچه: چون هندسه‌دان خواهد که درشتیِ شبکه‌ها را به لطافت کشاند و مثلث‌های فراخ را به اجزای خُرد شکند، مرکز ثقلِ هر وجه و میانه هر یال را نشانه سازد تا تقسیم باری‌سنتریک پدیدار گردد. عقل درمی‌یابد که با ریز شدنِ اجزا، روحِ کلّی فضا دست‌نخورده می‌ماند و عددِ سرّیِ اولر در پسِ این دگرگونی‌ها جاودانه و بی‌گزند پایدار است.
۱. کالبدشکافی تقسیم باری‌سنتریک مرتبه اول (First Barycentric Subdivision - Sd K)
هرگاه یک سیمپلکس ۲-بعدی (مثلث Δ) را در نظر گیریم:
• مرکز ثقل وجه (رأس ثقلی ۲-بعدی) تعیین شده و به ۳ رأس اصلی و میانه‌های اضلاع متصل می‌شود.
• در نتیجه، ۱ مثلثِ منفرد دقیقاً به ۶ مثلث کهتر (Sub-triangles) تقسیم می‌گردد.
• ۱ رأسِ داخلی جدید و ۳ رأس بر میانه‌ی یال‌ها افزوده شده و یال‌ها از ۳ به ۱۲ یال تکثیر می‌یابند.
۲. برهان حسابی ناوردایی مشخصه اولر بر روی سطح کامل (K)
فرض کنید مجتمع سیمپلیسیال K دارای v رأس، e یال، و t مثلث باشد. پس از یک مرحله تقسیم باری‌سنتریک:
- تعداد رئوس جدید (v'): بر هر یال ۱ رأس و در هر مثلث ۱ رأس اضافه می‌شود:
v' = v + e + t - تعداد یال‌های جدید (e'): هر یالِ قدیم نصف شده (2e) و در هر وجه ۶ نیم‌یالِ مرکزی می‌روید (6t):
e' = 2e + 6t - تعداد مثلث‌های جدید (t'): هر مثلث به ۶ مثلث کهتر تفکیک می‌شود:
t' = 6t
محاسبه مشخصه اولر جدید (χ'):
χ' = v' - e' + t' = (v + e + t) - (2e + 6t) + (6t)
χ' = v + e - 2e + t - 6t + 6t = v - e + t = χ
۳. اهمیت تقسیم در قضایای تقریب سیمپلیسیال
بر مبنای آموزه‌های استاد شاهزمانیان، تقسیم باری‌سنتریک به قطر هر سیمپلکس ضریب انقباضی حداقل 2/3 اعمال می‌کند. این خاصیت تضمین می‌نماید که هر نگاشت پیوسته میان دو منیفلد را می‌توان با نگاشتی سیمپلیسیال و متناهی تقریب زد بی‌آنکه پایه‌های جبری و ویژگی‌های اولر دچار اعوجاج شوند.
کلام پایانی: این برهان محکم و موازنه ظریف جبری نشان می‌دهد که مشخصه اولر عاری از تأثیر هندسه موضعی، صفت ذات فضا بوده و در کوران تقطیع و تقسیم همچنان چون جوهری نامتغیر باقی می‌ماند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.