پرسش و پاسخ‌های تخصصی در توپولوژی جبری رویه‌ها (دفتر سوم)
پاسخ‌های تحلیلی برگرفته از درس‌نامه‌های استاد: دکتر مصطفی شاهزمانیان
دیباچه: چون سالکِ وادیِ توپولوژی از ظاهر اشیاء به باطن ساختارها گذر کند، گروه‌های جبری را چونان نغمه‌هایی در تاروپود فضا طنین‌انداز بیند. در این ساحت، سطوحی پدیدار می‌گردند که تنگیِ فضای سه‌بعدی گنجایش جلوه‌گریِ تام آنها را ندارد و برای درک بی‌خودانه‌ی خویش، ابعاد والاتر را تمنا می‌کنند.
پرسش اول: چگونه با استفاده از قضیه زايفِرت-وان کامپن (Seifert-van Kampen)، گروه بنیادین (π1) یک منیفلد ۲-بعدی بسته مستقیماً از روی کلمه کانونیکال آن استخراج می‌گردد؟
پاسخ تحلیلی استاد شاهزمانیان: چون یک رویه بسته از چسباندن مرزهای یک ۲n-ضلعی تک‌رأسی حاصل می‌شود، گروه بنیادین آن دارای نمایشی با ژنراتورهای متناظر با اضلاعِ کلمه و دقیقاً یک رابطه‌ی یگانه (Relator) است که همانا کلّ کلمه دور چندضلعی می‌باشد:
برای چنبره با جنس g (رویه Mg): ژنراتورها جفت‌های جابه‌جاگر
ai, biهستند و رابطه بنیادین برابر است با:π1(Mg) = ⟨ a1, b1, ..., ag, bg | [a1, b1] ... [ag, bg] = 1 ⟩برای رویه جهت‌ناپذیر با جنس k (رویه Nk): ژنراتورها یال‌های غیرجهت‌پذیر
aiهستند و رابطه بنیادین برابر با حاصل‌ضرب مربعات است:π1(Nk) = ⟨ a1, ..., ak | a12 a22 ... ak2 = 1 ⟩
پرسش دوم: برهان هندسی این قضیه که بطری کلاین (K2) حاصل چسباندن دو نوار موبیوس در امتداد لبه‌های مرزی آن‌هاست چگونه تبیین می‌گردد؟
پاسخ تحلیلی استاد شاهزمانیان: کلمه مستطیلی بطری کلاین به صورت a b a-1 b نوشته می‌شود. اگر خط برشی در میانه‌ی مستطیل موازی با یال b رسم کرده و آن را با حرف c نام‌گذاری کنیم، مستطیل به دو نوار باریک با کلمات a c1 a-1 و b c2 b تفکیک می‌شود. با چسباندن اضلاع متناظر، هر یک از این دو قطعه دقیقاً ساختار توپولوژیک یک نوار موبیوس را پدید می‌آورند که مرز آزاد آنها c است. حال با یکی کردن و دوختن این دو مرز دایره‌ای، بطری کلاین متولد می‌گردد:
K2 ≅ Möbius1 ∪∂ Möbius2 ≅ P2 # P2
پرسش سوم: چرا صفحه تصویری (P2) و بطری کلاین (K2) قابلیت فرورفتگی هموار (Embedding) بدون خودتقاطعی در فضای سه‌بعدی اقلیدسی (R3) را ندارند؟
پاسخ تحلیلی استاد شاهزمانیان: بر طبق قضیه تعمیم‌یافته جُردَن-براور (Jordan-Brouwer Separation Theorem)، هر منیفلد ۲-بعدی فشرده و بسته که بدون خودتقاطعی در R3 فرورود (Embed شود)، الزماً فضا را به دو بخش متمایز «درون» و «برون» تقسیم می‌کند؛ این تفکیک فضایی مستلزم آن است که سطح دارای میدان بردار نرمال پیوسته در سراسر خود بوده و لذا جهت‌پذیر (Orientable) باشد.
از آنجا که P2 و K2 هر دو دارای مسیرهای معکوس‌کننده جهت (نظیر حلقه مرکزی نوار موبیوس) می‌باشند، فاقد دو رویه مستقل بوده و تحقق فیزیکی آنها در R3 ناگزیر مستلزم قطع کردنِ خودِ سطح (Self-intersection) است. بنابراین این سطوح برای فرورفتگی کامل و بدون تکینگی نیازمند حداقل فضای چهاربعدی (R4) می‌باشند.
کلام فرجامین: بدین اشارات رشیق، مرزهای میان هندسه مشاهده‌پذیر و فضاهای ناملموس آشکار گردید تا محققان جوان بدانند که عقل ریاضی را پروای محدودیت ابعاد حسی نیست و با بالِ استدلال در بی‌کرانگی توپولوژی سیر می‌کند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.