پرسش و پاسخ‌های عمیق در قضایای تقلیل و رده‌بندی (دفتر دوم)
مبانی استدلالی بر پایه تدریس استاد: دکتر مصطفی شاهزمانیان
دیباچه: چون محقق از مبادی بگذرد و به مقاصد رسد، تیغ استدلال برکشد و شبکه‌های بغرنج را با برهان تقلیل بشکافد. در این بخش، پاسخ به سوالاتی گرد آمده که گره از قضایای نام‌آور رده‌بندی، سطوح با مرز و معمای حل‌ناپذیری ابعاد بالا می‌گشاید.
پرسش اول: چرا در الگوریتم کانونیکال‌سازی، تک‌رأسی نمودن چندضلعی (تقلیل رئوس به ۱) یک ضرورت اساسی است؟
پاسخ تحلیلی استاد: اگر چندضلعی دارای بیش از یک رأس ناهم‌ارز باشد، یال‌های پیرامونی به نقاط متفاوتی در سطح نهایی نگاشته می‌شوند؛ در این حالت نمی‌توان یال‌ها را به سادگی به عنوان جابه‌جاگرهای جبریِ گروه بنیادین (π1) تفسیر نمود.
استاد شاهزمانیان در الگوریتم تقلیل اثبات می‌کنند که با برش دادن از یک رأس ناهم‌ارز به رأس دیگر و چسباندن روی یالِ مشترک، تعداد رده‌های هم‌ارزی رئوس گام‌به‌گام کاهش می‌یابد تا سرانجام تمام گوشه‌های چندضلعی در فضای خارج‌قسمتی بر یک تک‌نقطه منطبق گردند. تنها در این صورت است که مشخصه اولر مستقیماً به فرم χ = 1 - e + 1 = 2 - e درآمده و پیوند میان تعداد اضلاع و جنس سطح پدیدار می‌گردد.
پرسش دوم: قضیه مَسّی (Massey's Theorem) در خصوص مجموع متصل یک سطح جهت‌پذیر با یک سطح جهت‌ناپذیر چه حکمی صادر می‌کند؟
پاسخ تحلیلی استاد: یکی از شگفت‌انگیزترین نتایج در توپولوژی سطوح، جذب جهت‌پذیری توسط جهت‌ناپذیری است:
T2 # P2 ≅ P2 # P2 # P2 = N3
به فرمول فوق قضیه جذب مسی گویند. اگر یک چنبره جهت‌پذیر T2 را با یک صفحه تصویری P2 جمع متصل زنیم، حضور حتی یک نوار موبیوس در دل P2 موجب می‌گردد که تمام رویه خاصیت جهت‌پذیری خود را از دست بدهد و کل سیستم توپولوژیک به مجموع متصل سه صفحه تصویری (یا بطری کلاین به علاوه یک صفحه تصویری: K2 # P2) تبدیل گردد.
پرسش سوم: چرا رده‌بندی در ۲-منیفلدها با یک فرمول بسته پایان می‌پذیرد، اما برای ۴-منیفلدها حل‌ناپذیر است؟
پاسخ تحلیلی استاد: در ۲-بعد، گروه بنیادین π1 سطح مستقیماً در مرز چندضلعی منعکس است و رده‌بندی منیفلدهای دوبعدی فشرده دارای مرز با تعداد b با فرمول قطعی زیر مشخص می‌شود:
χ = 2 - 2g - b (برای سطوح جهت‌پذیر)
اما در ۴-منیفلدها (4-Manifolds)، طبق قضیه مارکوف (Markov Theorem, 1958)، رده‌بندی توپولوژیک به مسئله‌ی تشخیص هم‌ارزیِ گروه‌های متناهیاً ارائه‌شده (The Word Problem for Groups) گره می‌خورد که بر طبق مبانی منطق ریاضی تورینگ و چرچ، از لحاظ الگوریتمی حل‌ناپذیر (Algorithmic Undecidable) است؛ لذا هیچ ماشین یا فرمولی نمی‌تواند همه‌ی منیفلدهای ۴-بعدی را رده‌بندی نماید.
فرجام کلام: این‌چنین است که درس استاد شاهزمانیان، ذهن طالب علم را از محاسبات ساده به اوج فلسفه محاسبات و مرزهای قطعی ریاضیات نوین رهنمون می‌سازد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.