توسط علی رضا نقش نیلچی
| دوشنبه سیزدهم مهر ۱۴۰۵ | 15:43
مجموعه تمرین‌های تحلیلی: الگوریتم‌های تقلیل و طبقه‌بندی سطوح — طراح: دکتر مصطفی شاهزمانیان
باسمه تعالی. به منظور تسلط بر الگوریتم‌های گستردن چندوجهی‌ها، ره‌گیری کلاس‌های هم‌ارزی رئوس و تقلیل کلمات کانونیکال بر مبنای آموزه‌های استاد ارجمند دکتر مصطفی شاهزمانیان، مسائل زیر را گام‌به‌گام محاسبه و اثبات نمایید:
مسئله ۱ (ردگیری کلاس‌های رأس در کلمه غیرکانونیکال):
واژه مرزی ۸-ضلعی مسطح زیر مفروض است:
w = a b c a-1 d b-1 c-1 d-1
الف) با رسم چندضلعی و ره‌گیری پیکان‌ها، مشخص کنید ۸ رأس چندضلعی به چند کلاس هم‌ارزی مجزا در سطح خارج‌قسمتی تقسیم می‌شوند.
ب) با محاسبه مشخصه اولر (χ = v - e + t)، جنس و نام این سطح بسته را تعیین کنید.
مسئله ۲ (تقلیل گام‌به‌گام هرم منتظم / چهاروجهی Tetrahedron):
رویه چهاروجهی منتظم (شامل ۴ وجه مثلثی و ۶ یال) را در صفحه بگسترید (Net of Tetrahedron).
الف) واژه مرزی شبکه بازشده را بنویسید.
ب) با اعمال الگوریتم حذف جفت‌اضلاع نوع اول (... a a-1 ...)، نشان دهید که رویه آن دقیقاً با کره دوبعدی S2 همئومورف است.
مسئله ۳ (کاربست قضیه دایک و جابه‌جایی فرم کانونیکال):
سطحی با نمایش چندضلعی کانونیکال زیر مفروض است:
w = a1 b1 a1-1 b1-1 a2 b2 a2-1 b2-1 c c
الف) نوع جهت‌پذیری و مشخصه اولر (χ) سطح را مشخص نمایید.
ب) با استفاده از قضیه دایک (T2 # RP2 ∼ 3RP2)، این واژه را به فرم کانونیکال خالص صفحات تصویری (تنها بر حسب اضلاع نوع دوم) تقلیل دهید. این فضا حاصل جمع همبند چند صفحه تصویری است؟
مسئله ۴ (تبدیل برش و چسباندن در بطری کلاین):
کلمه بطری کلاین معمولاً به فرم w1 = a b a-1 b معرفی می‌شود. با استفاده از الگوریتم برش قطری (Diagonal Cut) و الحاق مجدد نشان دهید که این فرم با واژه w2 = c c d d (موسوم به فرم جمع همبند دو صفحه تصویری RP2 # RP2) هم‌ارز است.
کلید تشخیصی استاد دکتر مصطفی شاهزمانیان:
- پاسخ مسئله ۱: به علت قرارگیری متناوب اضلاع، تمامی ۸ رأس در ۱ کلاس هم‌ارزی واحد ادغام می‌شوند (v = 1). چون e = 4 و t = 1 است، χ = 1 - 4 + 1 = -2؛ از آنجا که تمام اضلاع نوع اول هستند، سطح، چنبره دوحفره‌ای (Double Torus: T2 # T2) با جنس g = 2 است.
- پاسخ مسئله ۳: سطح شامل دو توروس و یک کلاهک تصویری است: 2T2 # RP2. طبق قضیه دایک، با تبدیل هر توروس به دو صفحه تصویری، سطح نهایی برابر با ۵ صفحه تصویری (N5) با واژه کانونیکال 10-ضلعی و مشخصه اولر χ = 2 - 5 = -3 خواهد بود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.