ریاضیات

حاصل‌جمع مستقیم خارجی مدول‌ها (External Direct Sum)

۱. تعریف جمع مستقیم خارجی

فرض کنید {Aᵢ}ᵢ∈I خانواده‌ای از مدول‌ها باشد. حاصل‌جمع مستقیم خارجی این خانواده که با ⨁ᵢ∈I Aᵢ نشان داده می‌شود، زیرمدولی از حاصل‌ضرب مستقیم ∏ᵢ∈I Aᵢ است شامل تمامی تاپل‌هایی که تنها برای تعداد متناهی از اندیس‌ها ناپایه‌اند (غیرصفَر هستند):

⨁ᵢ∈I Aᵢ = { (aᵢ) ∈ ∏ᵢ∈I Aᵢ | { i ∈ I | aᵢ ≠ 0 } متناهی است }

۲. مقایسهٔ جمع مستقیم و ضرب مستقیم

• اگر مجموعهٔ اندیس‌ها I متناهی باشد، حاصل‌ضرب مستقیم و حاصل‌جمع مستقیم خارجی بر هم منطبق می‌شوند:

  ⨁ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ = ∏ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ

• اگر I نامتناهی باشد، حاصل‌جمع مستقیم یک زیرمدول سره و حقیقی از حاصل‌ضرب مستقیم خواهد بود (⨁ᵢ∈I Aᵢ ⊊ ∏ᵢ∈I Aᵢ).