درس‌نامه‌یِ جبرِ مجرد و نظریه‌یِ گالوا
حلِ تفصیلیِ مسئله‌یِ ۴: ساختارِ گالواییِ میدان‌هایِ دوری‌سنجی (Cyclotomic Extensions)
صورتِ مسئله:
فرض کنید ζn = e2πi/n یک ریشه‌یِ اولیه‌یِ n-اُمِ واحد در اعدادِ مختلط و میدانِ گسترشِ آن بر رویِ اعدادِ گویا E = Q(ζn) باشد.
ثابت کنید که این گسترش، یک گسترشِ گالواییِ آبلی است و نشان دهید که گروهِ گالوایِ آن با گروهِ ضربیِ عناصرِ وارون‌پذیرِ حلقه‌یِ Zn هم‌ریخت (ایزومورف) است:
Gal(Q(ζn)/Q) ≅ U(Zn) ≅ (Zn)×
گامِ نخست: میدانی نرمال و جدایی‌پذیر (گالوایی بودن)
چندجمله‌ایِ مشخصه‌یِ ریشه‌هایِ واحد برابر با xn - 1 است. ریشه‌هایِ این چندجمله‌ای همگی توان‌هایی از ریشه‌یِ اولیه هستند:
{ 1, ζn, ζn2, ζn3, ..., ζnn-1 }
از آنجا که با افزودنِ تنها عنصرِ ζn به میدانِ گویا، تمامیِ سایرِ ریشه‌ها نیز به‌طورِ خودکار به میدان راه می‌یابند، میدانِ Q(ζn) میدانِ شکافنده‌یِ (Splitting Field) چندجمله‌ایِ xn - 1 رویِ Q است.
از سویی چون مشخصه‌یِ میدانِ گویا صفر است (char(Q) = 0)، چندجمله‌ای‌ها همواره جدایی‌پذیرند. طبقِ قضایایِ بنیادی، میدانِ شکافنده‌یِ یک چندجمله‌ایِ جدایی‌پذیر، گسترشی نرمال و جدایی‌پذیر و در نتیجه یک گسترشِ گالوایی است.
گامِ دوم: چندجمله‌ایِ دوری‌سنجی و محاسبه‌یِ درجه‌یِ گسترش
ریشه‌هایِ اولیه‌یِ n-اُمِ واحد ریشه‌هایِ چندجمله‌ایِ دوری‌سنجی (Cyclotomic Polynomial) موسوم به Φn(x) هستند:
Φn(x) = ∏gcd(k, n) = 1 , 1 ≤ k ≤ n (x - ζnk)
بنا بر قضیه‌یِ تحویل‌ناپذیریِ گاوس، چندجمله‌ایِ Φn(x) رویِ اعدادِ گویا تحویل‌ناپذیرِ مطلق (Irreducible) است. درجه‌یِ این چندجمله‌ای بر پایه‌یِ تابعِ فی اویلر (φ) تعیین می‌گردد. در نتیجه، درجه‌یِ گسترش دقیقاً برابر است با:
[Q(ζn) : Q] = deg(Φn(x)) = φ(n)
از آنجا که گسترش گالوایی است، مرتبه‌یِ گروهِ گالوا با درجه‌یِ گسترش برابر خواهد بود:
|Gal(Q(ζn)/Q)| = φ(n)
گامِ سوم: ساختِ خودریختی‌ها و اثباتِ یک‌ریختی
هر خودریختیِ σ ∈ Gal(Q(ζn)/Q) باید ریشه‌یِ اولیه‌یِ ζn را به ریشه‌یِ اولیه‌یِ دیگری بنگارد؛ یعنی برای عددی طبیعی چون k با شرطِ gcd(k, n) = 1 داریم:
σk(ζn) = ζnk
حال اگر دو خودریختیِ σk و σm را ترکیب کنیم:
(σk ο σm)(ζn) = σk(ζnm) = (ζnk)m = ζnkm = σkm(ζn)
ترکیبِ خودریختی‌ها کاملاً با عملِ ضرب به پیمانه‌یِ n منطبق است. این امر نگاشتِ هم‌ریختیِ زیر را می‌سازد:
Ψ: Gal(Q(ζn)/Q) → (Zn)× , Ψ(σk) = k (mod n)
این نگاشت یک‌به‌یک و پوشاست؛ زیرا هر دو گروه دارای مرتبه‌یِ یکسانِ φ(n) هستند. بنابراین دو گروه با یکدیگر هم‌ریخت‌اند.
نتیجه: آبلی بودنِ گروهِ گالوا
از آنجا که گروهِ ضربیِ (Zn)× گروهی جابجایی (آبلی) است، گروهِ گالوایِ متناظر با آن نیز بی‌تردید جابجایی خواهد بود:
σk ο σm = σkm = σmk = σm ο σk
از این رو، تمامیِ میدان‌هایِ دوری‌سنجی بر رویِ اعدادِ گویا، گسترش‌هایی آبلی به‌شمار می‌روند (که این سرآغازِ قضیه‌یِ شکوهمندِ کرونکر-وبر است).
«گردشِ ریشه‌ها بر دایره‌یِ واحد، نوایِ موزونِ ضرب در پیمانه‌یِ اویلر است.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.