اثباتِ گام‌به‌گامِ سادگیِ گروهِ A₅
در این نوشته ثابت می‌کنیم که گروهِ متناوبِ
A5
ساده است؛ یعنی هیچ زیرگروهِ نرمالِ غیربدیهی و سره‌ای ندارد.
این نتیجه در نظریه‌ی گالوا نقشی بنیادین دارد، زیرا
A5
کوچک‌ترین گروهِ ساده‌ی غیرآبلی است.
تعریفِ گروهِ ساده
گروهِ G را ساده می‌نامیم، هرگاه تنها زیرگروه‌های نرمالِ آن،
زیرگروهِ بدیهیِ
{e}
و خودِ گروهِ G
باشند.
توجه کنیم که ساده بودن به معنای نداشتنِ هیچ زیرگروهی نیست؛
بلکه به معنای نداشتنِ زیرگروهِ نرمالِ میانی است.
گامِ نخست: شناختِ عناصرِ A₅
گروهِ S5
شاملِ همه‌ی جایگشت‌هایِ پنج عنصر است و گروهِ
A5
از جایگشت‌هایِ زوج تشکیل می‌شود.
هر جایگشتِ زوج در پنج عنصر، یکی از صورت‌های زیر را دارد:
- جایگشتِ همانی؛
- یک دورِ سه‌تایی، مانندِ (123)؛
- حاصل‌ضربِ دو ترانهاده‌یِ مجزا، مانندِ (12)(34)؛
- یک دورِ پنج‌تایی، مانندِ (12345).
بنابراین اگر
N
یک زیرگروهِ نرمالِ نابدیهی از
A5
باشد، بنا بر نوعِ یکی از عناصرِ نابدیهیِ آن، سه حالت خواهیم داشت.
گامِ دوم: انتخابِ زیرگروهِ نرمال
فرض کنید
N
زیرگروهِ نرمالِ
A5
باشد و
N ≠ {e}.
می‌خواهیم ثابت کنیم:
N = A5
حالتِ نخست: N دارایِ یک دورِ سه‌تایی باشد
فرض کنیم:
(abc) ∈ N
همه‌ی دورهایِ سه‌تایی در
A5
با یکدیگر مزدوج‌اند.
به بیانِ دقیق‌تر، برای هر دورِ سه‌تاییِ دیگر، مانندِ
(def)،
عنصری زوج مانندِ
g ∈ A5
وجود دارد که:
g(abc)g−1 = (def)
چون
N
نرمال است، مزدوجِ هر عنصرِ آن نیز در
N
قرار دارد. پس همه‌ی دورهایِ سه‌تایی در
N
هستند.
از سوی دیگر، دورهایِ سه‌تایی مولدِ
A5
هستند. برای نمونه، حاصل‌ضربِ دو ترانهاده‌یِ مجزا را می‌توان به صورتِ حاصل‌ضربِ دو دورِ سه‌تایی نوشت:
(ab)(cd) = (acb)(acd)
بنابراین:
N = A5
حالتِ دوم: N دارایِ حاصل‌ضربِ دو ترانهاده باشد
فرض کنیم:
x = (12)(34) ∈ N
عنصرِ زیر در
A5
قرار دارد:
y = (12)(45)
چون
N
نرمال است، مزدوجِ
x
به وسیله‌یِ
y
نیز در
N
است. داریم:
yxy−1 = (12)(35) ∈ N
اکنون دو عنصرِ موجود در
N
را در هم ضرب می‌کنیم:
(12)(35)(12)(34)
= (35)(34)
= (345)
پس
N
دارایِ یک دورِ سه‌تایی است.
طبقِ حالتِ نخست، وجودِ یک دورِ سه‌تایی در
N
نتیجه می‌دهد که:
N = A5
حالتِ سوم: N دارایِ یک دورِ پنج‌تایی باشد
فرض کنیم:
x = (abcde) ∈ N
دورِ سه‌تاییِ زیر را در نظر بگیرید:
y = (abc) ∈ A5
مزدوجِ
x
به وسیله‌یِ
y
برابر است با:
yxy−1 = (bcade)
چون
x ∈ N
و
N
نرمال است، عنصرِ
yxy−1
نیز در
N
قرار دارد. از طرفی
x−1
نیز در
N
است. بنابراین حاصل‌ضربِ زیر در
N
قرار دارد:
(yxy−1)x−1
= (bcade)(abcde)−1
= (abd)
بنابراین از وجودِ یک دورِ پنج‌تایی در
N
نیز به وجودِ یک دورِ سه‌تایی در
N
می‌رسیم.
پس طبقِ حالتِ نخست:
N = A5
گامِ نهایی: پایانِ اثبات
هر زیرگروهِ نرمالِ نابدیهیِ
A5
باید دست‌کم یکی از سه نوع عنصرِ نابدیهی را در خود داشته باشد:
دورِ سه‌تایی، حاصل‌ضربِ دو ترانهاده‌یِ مجزا، یا دورِ پنج‌تایی.
در حالتِ نخست، مستقیماً همه‌ی
A5
را به دست می‌آوریم.
در دو حالتِ دیگر نیز با یک محاسبه‌یِ صریح، یک دورِ سه‌تایی تولید می‌کنیم؛
و سپس حالتِ نخست به کار می‌رود.
قضیه:
تنها زیرگروه‌هایِ نرمالِ
A5
عبارت‌اند از:
{e}
و
A5.
بنابراین:
A5 یک گروهِ ساده است.
پیامدِ گالوا
گروهِ
A5
آبلی نیست؛ برای مثال، دورهایِ سه‌تاییِ مناسب با یکدیگر جابه‌جا نمی‌شوند.
از آن‌جا که
A5
ساده و غیرآبلی است، حل‌پذیر نیست.
گروهِ
S5
نیز حل‌پذیر نیست، زیرا
A5
زیرگروهِ آن است و هر زیرگروهِ یک گروهِ حل‌پذیر، خود حل‌پذیر است.
پس هر چندجمله‌ایِ درجه‌ی پنجم که گروهِ گالوای آن
S5
باشد، با رادیکال‌ها حل‌پذیر نخواهد بود.
سادگیِ A5
به معنای فقدانِ کثرت نیست؛
بلکه به معنای نبودنِ هیچ لایه‌یِ نرمالِ میانی در دلِ این کثرت است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.