دفتر گالوا (۳۳): لنگرگاهِ اعدادِ گویا
چرا نگاشت‌ها «یک» را رها نمی‌کنند؟
یک، سرآغازِ وفاداری
در دنیایِ اتومورفیسم‌ها، نگاشتی که میدان را به خودش می‌برد، هیچ اختیاری در برخورد با اعدادِ گویا ندارد. چرا؟ چون در تعریفِ نگاشت، «واحد» باید به «واحد» برود (نگاشتِ یک به یکِ «یک»). وقتی φ(1) = 1 باشد، به ناچار تمامِ اعدادِ صحیح و سپس تمامِ اعدادِ گویا (کسرها) نیز در جایِ خود ثابت می‌مانند.
اعدادِ گویا برایِ یک میدان، نقشِ «اسطرلاب» یا «لنگرگاه» را دارند. اتومورفیسم‌ها هرچقدر هم که رادیکال‌ها و پیچیدگی‌ها را جابه‌جا کنند، جرأتِ دست‌درازی به ساحلِ امنِ اعدادِ گویا را ندارند. آنها «ثابت» می‌مانند.
نیم‌نگاهی به هندسه (ساختِ پنج‌ضلعی)
همین روابطِ جبری است که در هندسه نیز معجزه می‌کند. وقتی از ساختِ زاویه‌ی ۳۶ درجه سخن می‌گوییم و پایِ «نسبتِ طلایی» (تائو) به میان می‌آید، در واقع داریم همان معادلاتِ توسعه‌یِ میدانی را در پهنه‌یِ صفحه ترسیم می‌کنیم. همان‌طور که در یادداشت‌ها دیدیم، ساختِ یک پنج‌ضلعی، در گرویِ حلِ این معادلات است. جبر، روحِ پنهانِ هندسه است.
«اعدادِ گویا، ستون‌هایِ خیمه‌یِ میدان‌اند؛ هرچه بر این خیمه افزوده شود، ستون‌ها تکان نمی‌خورند. اتومورفیسم‌ها در حاشیه می‌رقصند، اما مرکزِ خیمه، جایگاهِ امنِ اعدادِ گویاست.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.