دفتر گالوا (۲۱): لم گاوس و پلِ استوار میان ℤ[x] و ℚ[x]
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
چندجمله‌ای اولیه (Primitive Polynomial) چیست؟
چندجمله‌ای با ضرایبِ صحیح f(x) = a₀ + a₁x + … + anxn ∈ ℤ[x] را اولیه می‌نامیم هرگاه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترکِ ضرایبِ آن برابرِ یک باشد؛ یعنی:
gcd(a₀, a₁, …, an) = 1
به این مقدار، «محتوای چندجمله‌ای» (Content) نیز می‌گویند. اگر محتوا یک باشد، چندجمله‌ای از هر عاملِ مشترکِ عددی پیراسته است.
لم نامدارِ گاوس (Gauss's Lemma)
قضیه: حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ایِ اولیه در ℤ[x]، خود چندجمله‌ایِ اولیه‌ای در ℤ[x] است.
طرح اثبات با برهان خلف: فرض کنیم f(x) و g(x) اولیه باشند اما حاصل‌ضرب f(x)g(x) = ∑ ckxk اولیه نباشد. پس عددِ اولی چون p هست که تمام ضرایبِ ck را می‌شمارد (p | ck).
- چون
fاولیه است، p همهٔ ضرایب آن را عاد نمی‌کند. فرض کنیمjنخستین اندیسی باشد کهp ∤ aj(پس برای همهٔ i < j داریمp | ai). - چون
gاولیه است، فرض کنیمlنخستین اندیسی باشد کهp ∤ bl(پس برای همهٔ k < l داریمp | bk).
حال ضریبِ cj+l را در حاصل‌ضرب می‌نگریم:
cj+l = (a₀bj+l + … + aj-1bl+1) + ajbl + (aj+1bl-1 + … + aj+lb₀)
تمام جملاتِ پیش و پس بر p بخش‌پذیرند و خودِ cj+l نیز بر p بخش‌پذیر است؛ بنابراین باید p | ajbl باشد که چون p اول است ایجاب می‌کند p | aj یا p | bl — و این تناقضِ محض است! پس f(x)g(x) قطعاً اولیه است.
ارمغانِ لم گاوس: پلِ تجزیه‌پذیری
اگر چندجمله‌ایِ اولیه‌ای چون f(x) ∈ ℤ[x] در میدانِ گویاها ℚ[x] به صورتِ f(x) = g(x)h(x) تجزیه شود، آن‌گاه می‌توان مخرج‌ها را با ک.م.م گرفت و محتواها را با ب.م.م بیرون کشید تا به دست آید:
f(x) = t(x) · s(x) که در آن t(x), s(x) ∈ ℤ[x]
پیام مهم: هر چندجمله‌ای که در حلقهٔ صحیح‌ها ℤ[x] تجزیه‌ناپذیر باشد، بی‌هیچ دغدغه‌ای در میدانِ بزرگ‌ترِ ℚ[x] نیز تجزیه‌ناپذیر خواهد ماند!
«لم گاوس پلی می‌زند زرین میانِ خاکِ اعداد صحیح و آسمانِ اعداد گویا؛ تا هر بنای استوار در یکی، در دیگری نیز تزلزل‌ناپذیر بماند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.