ریاضیات

مثالی دیگر از الحاق تانسور و هوم: در قلمرو فضاهای برداری متناهی‌بعدی

در گلستانِ جبر خطی، جایی که بردارها به تماشایِ تقارن می‌نشینند، الحاقِ میانِ تابع‌گرِ «تانسور» و تابع‌گرِ «هوم» رنگ و بویی دیگر می‌یابد. در این‌جا، به مددِ مفهومِ «فضایِ دوگان»، این الحاق به پیوندی عمیق میانِ نگاشت‌هایِ خطی و تانسورهایِ ساده بدل می‌شود.

۱. تعریفِ تابع‌گرها در ردهٔ فضاهای برداری

فرض کنیم K یک میدان باشد و ردهٔ فضاهای برداری بر روی این میدان را با نامِ Vect-K نشان دهیم. برای هر فضای برداریِ ثابتِ W، دو تابع‌گرِ زیر تعریف می‌شوند:

F(V) = V ⊗ W

G(U) = Hom(W , U)

الحاقِ بنیادین که در نظریهٔ رده‌ها می‌شناسیم، بیانگرِ تناظرِ زیر است:

Hom(V ⊗ W , U) ≅ Hom(V , Hom(W , U))

۲. معجزهٔ فضای دوگان در ابعاد متناهی

هنگامی که فضای برداریِ W متناهی‌بعدی باشد، شکوهِ این الحاق در آن است که تابع‌گرِ «هوم» را می‌توان به یک تابع‌گرِ «تانسور» تبدیل کرد.

فضایِ دوگانِ W را با W* نشان می‌دهیم که همان Hom(W , K) است. در این شرایط، هم‌ریختیِ طبیعیِ زیر برقرار است:

Hom(W , U) ≅ W* ⊗ U

این یعنی در فضاهایِ متناهی‌بعدی، نگاشتِ خطی از W به U، چیزی نیست مگر تانسور کردنِ فضایِ دوگانِ W با U.

۳. بازنویسیِ الحاق در قالبِ فضای دوگان

با جایگذاریِ این هم‌ریختی در رابطهٔ الحاق، به رابطه‌ای بسیار زیبا می‌رسیم:

Hom(V ⊗ W , U) ≅ Hom(V , W* ⊗ U)

این فرمول، جوهرِ الحاقِ تانسور و هوم را در هندسهٔ جبری و فیزیکِ نظری به تصویر می‌کشد.

معنایِ آن چنین است: نگاشتِ یک محصولِ تانسوری (V ⊗ W) به یک فضایِ هدف (U)، معادل است با نگاشتِ تک‌تکِ بردارهایِ V به یک تانسورِ متشکل از «فرم‌هایِ خطی» (W*) و «بردارهایِ هدف» (U).

۴. بررسی در قالب مثال عددی

فرض کنیم V و W و U همگی فضایِ حقیقیِ دوبعدی باشند:

V = W = U = ℝ²

در سمتِ چپِ الحاق، فضایِ محصولِ تانسوری داریم:

V ⊗ W = ℝ² ⊗ ℝ² ≅ ℝ⁴

نگاشتِ خطی از ℝ⁴ به ℝ²، در حقیقت یک ماتریسِ ۲ در ۴ است.

در سمتِ راستِ الحاق، فضایِ W* ⊗ U برابر است با:

W* ⊗ U ≅ (ℝ²)* ⊗ ℝ² ≅ ℝ² ⊗ ℝ² ≅ ℝ⁴

پس نگاشتِ خطی از V (که ℝ² است) به ℝ⁴، همان نگاشتِ خطی از ℝ² به ℝ⁴ است که آن نیز یک ماتریسِ ۴ در ۲ می‌باشد.

تناظرِ الحاق می‌گوید: فضایِ همهٔ ماتریس‌هایِ ۲ در ۴، با فضایِ همهٔ ماتریس‌هایِ ۴ در ۲ «هم‌ریخت» است. این همان تقارنِ زیبایی است که از دلِ الحاقِ تانسور و هوم زاده می‌شود.

۵. واحد و هم‌واحدِ الحاق

واحدِ الحاق (η) برای هر فضایِ V، نگاشتی است که بردارِ v را به یک تانسورِ ساده می‌فرستد:

η: V → W* ⊗ (V ⊗ W)

این نگاشت، بردارِ v را به ترکیبِ تانسوریِ «تابعِ ارزیابی» و «خودِ بردار» می‌برد؛ گویی بردار را در آینه‌ای از دوگانِ خودش بازتاب می‌دهد.

هم‌واحدِ الحاق (ε) نیز نگاشتِ ارزیابی است:

ε: W* ⊗ (W ⊗ U) → U

که با اثر دادنِ تابعِ خطیِ W* بر بردارِ W، آن را به فضایِ U «فرو می‌کاهد» (Contraction).

۶. سخن پایانی

الحاقِ تانسور و هوم در فضایِ برداری، فراتر از یک تساویِ ساده است. این الحاق، پیوندی‌ست میانِ «ساختنِ فضایِ جدید از طریقِ تانسور» و «شمارشِ نگاشت‌ها از طریقِ هوم».

تانسور، فضاها را به هم می‌دوزد و آن‌ها را بزرگ‌تر می‌کند؛ هوم، فضاها را می‌کاود و مسیرهایِ میانشان را می‌شمارد.

و در این میانه، الحاق، قانونِ این دگرگونی است:

هر چه در تانسورِ مبدأ بزرگ‌تر شود، در هومِ مقصد به صورتِ نگاشت‌هایِ پیچیده‌تر، جلوه‌گر می‌گردد.