اثباتِ خوش‌تعریف بودنِ نگاشت (Well-definedness)
برای بررسیِ اینکه نگاشتِ
φ
یک تک‌ریختی (یا به‌طور کلی یک نگاشتِ خوش‌تعریف) است، فرض می‌کنیم:
φ : π1(X, x) × π1(Y, y) → π1(X × Y, (x, y))
که در آن هر زوج از کلاس‌های مسیر به صورت زیر نگاشته می‌شود:
([f1] , [f2]) ↦ [f]
به طوری که مسیرِ f در فضای حاصل‌ضرب به صورت
f(s) = (f1(s), f2(s))
تعریف شده است. حال باید نشان دهیم که این تعریف به انتخابِ نمایندهٔ کلاس بستگی ندارد.
گام‌های اثبات:
اولاً فرض کنیم دو جفت از کلاس‌های مسیر با هم برابر باشند:
([f1] , [f2]) = ([f'1] , [f'2])
طبق تعریفِ تساوی در حاصل‌ضربِ دکارتی، نتیجه می‌گیریم:
[f1] = [f'1] , [f2] = [f'2]
این تساویِ کلاس‌ها به این معناست که مسیرها با هم هموتوپ هستند:
f1 ≃ f'1 , f2 ≃ f'2
بنابراین، هموتوپیِ مؤلفه به مؤلفه در فضای حاصل‌ضرب (ترکیبِ هموتوپی‌ها) منجر به هموتوپیِ مسیرهای کلی می‌شود:
f1 × f2 ≃ f'1 × f'2
در نتیجه، کلاسِ هموتوپیِ آنها در فضایِ کل یکسان خواهد بود:
[f1 * f2] = [f'1 * f'2]
⇒ [f] = [f']
این نشان می‌دهد که خروجیِ نگاشت تنها به کلاسِ هموتوپیِ ورودی‌ها بستگی دارد و نه به خودِ مسیرهای انتخاب شده؛ پس نگاشت خوش-تعریف است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.