ریاضیات

الگوریتم محاسبه چاه پتانسیل نامتناهی

چاه پتانسیل نامتناهی یکی از مدل‌های پایه در مکانیک کوانتومی است که رفتار یک ذره

در یک ناحیه محدود را توصیف می‌کند. در این مدل، پتانسیل در داخل چاه صفر و در خارج آن

بی‌نهایت در نظر گرفته می‌شود.

تعریف پتانسیل

V(x) = 0 اگر

0 < x < L

V(x) = ∞

در غیر این صورت

در این حالت تابع موج در دیواره‌های چاه صفر می‌شود.

معادله شرودینگر

-(ħ² / 2m) d²ψ/dx² = Eψ

توابع ویژه

ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx / L)

سطوح انرژی

Eₙ = (n² π² ħ²) / (2 m L²)

الگوریتم عددی (روش تفاضل محدود)

برای محاسبه عددی تابع موج می‌توان از گسسته‌سازی فضا استفاده کرد.

1. تقسیم بازه چاه به N بخش
2. تقریب مشتق دوم با روش تفاضل محدود
3. ساخت ماتریس همیلتونی
4. محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

شبه‌کد الگوریتم

Input: L , m , N

Δx = L / (N + 1)

for i = 1..N

H[i,i] = 2

H[i,i-1] = -1

H[i,i+1] = -1

end

H = (ħ² / (2m Δx²)) * H

Compute eigenvalues(H)

نتیجه

با حل مقدارهای ویژه ماتریس همیلتونی می‌توان انرژی‌های مجاز و

توابع موج سیستم را به دست آورد. این روش پایه بسیاری از شبیه‌سازی‌های

کوانتومی و محاسبات فیزیک محاسباتی است.