ریاضیات

پادمتقارن‌سازی در سیستم‌های دو و سه ذره‌ای

فرمیون‌ها (مانند الکترون، پروتون و نوترون) از اصل طرد پائولی پیروی می‌کنند. بنابراین تابع موج کل آن‌ها باید نسبت به تبادل هر دو ذره پادمتقارن باشد.

پادمتقارن‌سازی دو ذره

فرض کنید دو حالت تک‌ذره‌ای φ_a و φ_b داشته باشیم.

تابع موج ساده:

Ψ(1,2)=φ_a(1)φ_b(2)

این تابع پادمتقارن نیست.

تابع موج پادمتقارن صحیح:

Ψ_A(1,2)=

[φ_a(1)φ_b(2)

-

φ_a(2)φ_b(1)]/√2

تحت تبادل دو ذره:

P₁₂Ψ_A=-Ψ_A

احتمال حضور دو ذره

چگالی احتمال برابر است با:

ρ(1,2)=|Ψ_A(1,2)|²

بنابراین:

ρ=

(1/2)

[

|φ_a(1)|²|φ_b(2)|²

+

|φ_a(2)|²|φ_b(1)|²

]

-

Re

[

φ_a^*(1)

φ_b^*(2)

φ_a(2)

φ_b(1)

]

جمله آخر «اثر تبادلی» را نشان می‌دهد.

نتیجه مهم

اگر دو فرمیون در یک حالت کوانتومی قرار گیرند:

φ_a=φ_b

آنگاه:

Ψ_A=0

و در نتیجه:

ρ=0

یعنی احتمال وجود چنین حالتی صفر است. این همان اصل طرد پائولی است.

مثال ۱: دو الکترون در اتم هلیوم

دو الکترون در اوربیتال 1s قرار دارند:

1s²

بخش فضایی متقارن است، بنابراین بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد:

χ=

(|↑↓〉-|↓↑〉)/√2

که حالت سینگلت نامیده می‌شود.