مجموعه محدب

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویر یک مجموعه محدب که به نظر می رسد تا حدودی مانند یک دایره تغییر شکل یافته است. بخش خط (مشکی) که نقاط x و y را به هم می پیوندد کاملاً در مجموعه (سبز) قرار دارد. از آنجا که این برای هر نقطه x و y در مجموعه ای که ممکن است انتخاب کنیم صحیح است ، مجموعه محدب است.

تصویر یک مجموعه غیر محدب. از آنجا که قسمت قرمز (مشکی) قسمت خط (سیاه و قرمز) که به نقاط x و y می پیوندد در خارج از مجموعه (سبز) قرار دارد ، مجموعه غیر محدب است.

در هندسه ، یک زیر مجموعه از یک فضای اقلیدسی ، یا به طور کلی تر فضای affine به بیش از اعداد حقیقی است، محدب اگر، با هر دو نقطه، آن را حاوی طیف پاره خط که به آنها می پیوندد. به طور برابر ، یک مجموعه محدب یا یک منطقه محدب زیر مجموعه ای است که هر خط را به یک بخش خط تک (احتمالاً خالی) تقاطع می کند . [1] [2] به عنوان مثال ، یک مکعب جامد یک مجموعه محدب است ، اما هر چیزی که توخالی باشد یا دارای یک شکاف باشد ، به عنوان مثال شکل هلالی باشد ، محدب نیست.

مرز یک مجموعه محدب است که همیشه یک منحنی محدب . تقاطع از تمام مجموعه محدب که حاوی یک زیر مجموعه داده از فضای اقلیدسی است به نام بدنه محدب از . این کوچکترین مجموعه محدب حاوی A است .

تابع محدب است مقدار واقعی تابع در تعریف فاصله با ملکی که آن کتیبه (مجموعه ای از نقاط در بالا و یا نمودار تابع) مجموعه ای محدب است. به حداقل رساندن محدب زیر مجموعه ای از بهینه سازی است که مسئله به حداقل رساندن عملکردهای محدب نسبت به مجموعه های محدب را بررسی می کند. شاخه ریاضیات اختصاص به مطالعه ویژگیهای مجموعه های محدب و عملکردهای محدب آنالیز محدب است .

مفهوم مجموعه محدب می تواند همانطور که در زیر توضیح داده می شود تعمیم یابد.

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

تابع محدب است اگر و تنها اگر آن کتیبه ، منطقه (به رنگ سبز) در بالا آن نمودار (به رنگ آبی)، یک مجموعه محدب است.

بگذارید S یک فضای بردار یا یک فضای وابسته به اعداد واقعی باشد یا به طور کلی بیش از برخی از زمینه های سفارش داده شده باشد. این شامل فضاهای اقلیدسی است که فضاهای وابسته به هم هستند. زیر مجموعه C از S است محدب اگر، برای همه X و Y در C از پاره خط اتصال X و Y در شامل C . این بدان معنی است که ترکیب میل (1 - t ) x + ty متعلق استC ، برای همه x و y در C و t در فاصله [0 ، 1] . این بدان معنی است که محدب (خاصیت محدب بودن) تحت دگرگونی های وابسته تغییرناپذیر است . این همچنین حاکی از آن است که یک مجموعه محدب در یک فضای بردار توپولوژیکی واقعی یا پیچیده به هم متصل است ، بنابراین به هم وصل می شوند .

مجموعه ای C است به شدت محدب اگر هر نقطه روی پاره خط اتصال X و Y از نقاط پایانی است در داخل داخلی از C .

مجموعه ای C است کاملا محدب اگر آن محدب و متعادل کننده شده .

محدب زیر مجموعه از R (مجموعه ای از اعداد حقیقی) فواصل و نقاط هستند R . برخی از نمونه های زیر مجموعه های محدب هواپیمای اقلیدسی عبارتند از چند ضلعی های مرتب جامد ، مثلث های جامد و تقاطع مثلث های جامد. برخی از نمونه های زیر مجموعه های محدب از یک فضای 3 بعدی اقلیدسی عبارتند از جامدات Archimedean و مواد جامد افلاطونی . polyhedra به کپلر Poinsot شده نمونه هایی از مجموعه غیر محدب.

مجموعه غیر محدب [ ویرایش ]

تغییر مسیرهای مجموعه "مقعر" در اینجا.

مجموعه ای است که محدب نیست است که به نام مجموعه غیر محدب . چند ضلعی است که یک چند ضلعی محدب است که گاهی اوقات به نام چند ضلعی مقعر ، [3] و برخی از منابع به طور کلی استفاده از اصطلاح مجموعه ای مقعر به معنی یک مجموعه غیر محدب، [4] اما اکثر مقامات منع این استفاده. [5] [6]

مکمل یک مجموعه محدب، مانند کتیبه از یک تابع مقعر است، گاهی به نام مجموعه محدب معکوس ، به خصوص در زمینه بهینه سازی ریاضی . [7]

خواص [ ویرایش ]

با توجه به تحقیق نقاط تو 1 ، ...، تو تحقیق در یک مجموعه محدب S ، و تحقیق اعداد نامنفی λ 1 ، ...، λ تحقیق به طوری که λ 1 + ... + λ R = 1 ، از ترکیب و affine

$\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {r} \ lambda _ {k} u_ {k}$

متعلق به S . همانطور که تعریف مجموعه محدب مورد r = 2 است ، این ویژگی مجموعه های محدب را مشخص می کند.

چنین ترکیبی وابسته به ترکیبی محدب از u 1 ، ... ، u r نامیده می شود .

تقاطع ها و اتحادیه ها [ ویرایش ]

مجموعه زیر مجموعه های محدب از یک فضای بردار ، یک فضای عاطفه یا یک فضای اقلیدسی دارای خصوصیات زیر است: [8] [9]

مجموعه تهی و کل فضای محدب.
تقاطع هر مجموعه ای از مجموعه های محدب محدب است.
اگر دنباله ای از زنجیره ای کاهش نیافته باشند ، اتحادیه دنباله ای از مجموعه های محدب محدب است . برای این خاصیت ، محدود کردن زنجیرها حائز اهمیت است ، زیرا اتحاد دو مجموعه محدب نیازی به محدب بودن ندارد.

مجموعه های محدب بسته [ ویرایش ]

مجموعه های محدب بسته ، مجموعه های محدب هستند که شامل تمام نقاط حد مجاز آنها است . آنها را می توان به عنوان تقاطع های نیمه های بسته بسته توصیف کرد (مجموعه ای از نقاطی که در فضا قرار دارد و در یک طرف یک هواپیما قرار دارد ).

از آنچه که اخیراً گفته شد ، مشخص است که چنین تقاطع هایی محدب است و همچنین بسته های بسته نیز خواهند بود. برای اثبات مکالمه ، یعنی هر مجموعه محدب ممکن است به عنوان چنین تقاطع نشان داده شود ، فرد نیاز به قضیه ابرقابل پشتیبانی دارد به این شکل که برای یک مجموعه محدب بسته بسته C و نقطه P در خارج از آن ، یک فضای نیمه بسته H وجود دارد که شامل C و P . قضیه هایپر پلان پشتیبانی یک مورد خاص از قضیه هان-باناخ از تجزیه و تحلیل عملکردی است .

مجموعه ها و مستطیل های محدب [ ویرایش ]

بگذارید C یک جسم محدب در هواپیما باشد. ما می توانیم مستطیل R را در C کتیبه کنیم به طوری که یک نسخه همتای R از r در حدود C منتشر شود . نسبت همبستگی مثبت حداکثر 2 است و: [10]

$\ tfrac {1} {2} \ cdot \ text {منطقه} (R) \ leq \ text {منطقه} (C) \ leq 2 \ cdot \ text {منطقه} (r)$

خواص دیگر [ ویرایش ]

بگذارید X یک فضای بردار توپولوژیکی باشد و $C \ subseteq X$ محدب باشد

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} C$ و ${\ displaystyle \ operatorname {Int} C$ هر دو محدب هستند (یعنی بسته شدن و فضای داخلی مجموعه های محدب محدب است).
${\ displaystyle a \ in \ operatorname {Int} C$ و $\ displaystyle b \ in \ operatorname {Cl} C$ سپس ${\ displaystyle [a، b [\، \ subseteq \ operatorname {Int} C$ $\ displaystyle [a، b [\،: = \ left \ {(1-r) a + rb: 0 \ leq r <1 \ Right \}}$ )
اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Int} C \ neq \ vacyset}$ سپس:
- ${\ displaystyle \ operatorname {cl} \ left (\ operatorname {Int} C \ right) = \ operatorname {Cl} C$ و
- ${\ displaystyle \ operatorname {Int} C = \ operatorname {Int} \ left (\ operatorname {Cl} C \ Right) = C ^ {i}}$ ، جایی که $\ displaystyle C ^ {من}}$ است داخلی جبری از C .

مبلغ های محدب و مینکوفسکی [ ویرایش ]

حلقه های محدب [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه محدب

هر زیر مجموعه از فضای برداری است که در داخل کوچکترین مجموعه محدب (به نام موجود بدنه محدب از )، یعنی تقاطع از تمام مجموعه محدب حاوی . اپراتور محدب محور Conv () از خصوصیات بارز اپراتور بدنه می باشد :

گسترده	S ⊆ Conv ( S ) ،
کاهش نمی یابد	S ⊆ T نشان می دهد که (Conv ( S ) ⊆ Conv ( T ، و
خیرخواه(	Conv (Conv ( S )) = Conv ( S .

عملكرد محدب حلقوی لازم است برای مجموعه ای از مجموعه های محدب برای ایجاد یك مشبك ، كه در آن عمل " پیوستن " ، محور محدب اتحاد دو مجموعه محدب است.

(Conv ( S ) ∨ Conv ( T ) = Conv ( S ∪ T ) = Conv (Conv ( S ) ∪ Conv ( T ).

تقاطع هر مجموعه ای از مجموعه های محدب خود محدب است ، بنابراین زیر مجموعه های محدب از یک فضای بردار (واقعی یا پیچیده) یک شبکه کامل تشکیل می دهند .

علاوه بر Minkowski [ ویرایش ]

مقاله اصلی: علاوه بر Minkowski

اضافه کردن مینکوفسکی از مجموعه ها. مجموع از مربع Q 1 = [0،1] 2 و Q 2 = [1،2] 2 پرسش مربع است 1 + Q 2 = [1،3] 2 .

در یک فضای بردار واقعی ، مجموعه مینکوفسکی از دو مجموعه (غیر خالی) S 1 و S 2 به عنوان مجموعه S 1 + S 2 تشکیل شده است که با اضافه کردن بردارهای عنصر خرد از مجموعه های مجموعه تشکیل می شود.

S 1 + S 2 = { X 1 + X 2 : X 1 ∈ S 1 ، X 2 ∈ S 2 } .

بطور کلی ، مجموعه مینکوفسکی از یک خانواده محدود از مجموعه های (غیر خالی) S n مجموعه ای است که با اضافه کردن عناصر خرد بردارها تشکیل می شود.

$\ sum_n S_n = \ left \ {\ sum_n x_n: x_n \ in S_n \ Right \.$

علاوه بر Minkowski ، مجموعه صفر {0} که حاوی فقط بردار صفر 0 است از اهمیت ویژه ای برخوردار است : برای هر زیر مجموعه غیر خالی S یک فضای بردار

S + {0} = S ؛

در اصطلاحات جبری، {0} است عنصر هویت از مینکوفسکی علاوه بر (در مجموعه ای از مجموعه های غیر خالی). [11]

حلقه های محدب مبالغ مینکوفسکی [ ویرایش ]

علاوه بر این ، مینکوفسکی با توجه به عملکرد گرفتن قلاب های محدب رفتار خوبی دارد ، همانطور که توسط گزاره زیر نشان داده شده است:

بگذارید S 1 ، S 2 زیر مجموعه یک فضای بردار واقعی باشد ، بدنه محدب مبلغ Minkowski آنها جمع مینکوفسکی از حلقه های محدب آنها است.

Conv ( S 1 + S 2 ) = Conv ( S 1 ) + Conv ( S 2 ) .

این نتیجه بطور کلی برای هر مجموعه محدود از مجموعه های غیر خالی نگه داشته می شود:

$\ text {Conv} \ left (\ sum_n S_n \ right) = \ sum_n \ text {Conv} \ left (S_n \ Right).$

در اصطلاح ریاضی، عملیات جمع مینکوفسکی و تشکیل پوش محدب هستند رفت و آمد عملیات. [12] [13]

مینکوفسکی مجموعه های محدب [ ویرایش ]

جمع Minkowski از دو مجموعه محدب جمع و جور جمع و جور است. مجموعه یک مجموعه محدب جمع و جور و یک مجموعه محدب بسته است. [14]

قضیه معروف زیر ، که توسط دیودونه در سال 1966 اثبات شد ، شرط کافی را برای اختلاف دو زیر مجموعه محدب بسته را می دهد. [15] از مفهوم مخروط رکود اقتصادی زیر مجموعه محدب غیر خالی S استفاده می کند ، که به این شرح است:

$\ displaystyle \ operatorname {rec} S = \ left \ {x \ in X \،: \، x + S \ subseteq S \ Right \}$ .

جایی که این مجموعه حاوی مخروط محدب است{\ صفحه نمایش 0 \ در X ${\ صفحه نمایش 0 \ در X$ و رضایت بخش $\ displaystyle S + \ operatorname {rec} S = S$ . توجه داشته باشید که اگر S بسته است و محدب است ، پس از آن ${\ displaystyle \ operatorname {rec S$ بسته است و برای همه در S ${\ displaystyle s_ {0} \ در S$ ${\ displaystyle \ operatorname {rec} S = \ bigcap _ {t> 0} t (S-s_ {0})}$ .

قضیه (دیودونه). بگذارید A و B زیرمجموعههای خالی ، بسته و محدب از یک فضای بردار توپولوژیکی محدب محلی باشند به گونه ای که ${\ displaystyle \ operatorname {rec A \ cap \ operatorname {rec} B$ یک فضای فرعی خطی است اگر A یا B به صورت محلی فشرده باشد ، A - B بسته است.

کلیات و پسوندها برای همرفتگی [ ویرایش ]

مفهوم همرفتی در فضای اقلیدسی ممکن است با اصلاح تعریف در برخی از جنبه های دیگر تعمیم یابد. نام مشترک "محدب تعمیم" استفاده می شود ، زیرا اشیاء حاصل از آن خاصیت خاصی از مجموعه های محدب را حفظ می کنند.

ست های محدب ستاره (به شکل ستاره) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دامنه ستاره

بگذارید C یک مجموعه در یک فضای بردار واقعی یا پیچیده باشد. C است محدب ستاره (ستاره شکل) اگر یک وجود دارد X 0 در C به طوری که پاره خط از X 0 به هر نقطه Y در C در موجود C . از این رو یک مجموعه محدب غیر خالی همیشه ستاره محدب است اما یک مجموعه محدب ستاره همیشه محدب نیست.

همرفت متعامد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه محدب متعامد

نمونه ای از همرفت تعمیم یافته ، محدب بودن متعامد است . [16]

مجموعه S در فضای اقلیدسی به صورت متعامد محدب یا ارتو محدب گفته می شود ، اگر هر قطعه به موازات هر یک از محورهای مختصات که دو نقطه S را به هم متصل می کند کاملاً در S قرار دارد . به راحتی می توان اثبات کرد که تقاطع هر مجموعه ای از ستون های متعامد orthoconvex است. برخی دیگر از خصوصیات مجموعه های محدب نیز معتبر هستند.

هندسه غیر اقلیدسی [ ویرایش ]

تعریف یک مجموعه محدب و یک پوسته محدب به طور طبیعی به هندسه هایی که اقلیدسی نیستند با تعریف یک مجموعه محدب از لحاظ ژئودزیکیک به عنوان یک مجموعه شامل محتویات ژئودزیک به هر دو نقطه در مجموعه گسترش می یابد.

ترتیب توپولوژی [ ویرایش ]

محدب را می توان برای یک مجموعه کاملاً مرتب شده X که دارای توپولوژی سفارش است ، گسترش داد . [17]

اجازه دهید Y ⊆ X . زیر فضای Y مجموعه محدب است اگر برای هر جفت از نقاط a ، b در Y به گونه ای باشد که a ≤ b ، فاصله [ a ، b ] = { x ∈ X | ≤ X ≤ ب } در موجود Y . یعنی ، Y محدب است اگر و فقط اگر برای همه a ، b در Y باشد ، a ≤ b دلالت می کند [، ب ] ⊆ Y .

یک مجموعه محدب به طور کلی متصل نیست : یک نمونه متضاد توسط فضای Q داده می شود ، که هم محدب است و هم کاملاً از هم جدا .

فضاهای محدب [ ویرایش ]

اگر خصوصیات خاص از همرفت به عنوان بدیهیات انتخاب شوند ، مفهوم همرفت ممکن است در مورد سایر اشیاء تعمیم یابد .

با توجه به مجموعه X ، یک تحدب بیش از X یک مجموعه است 𝒞 از زیرمجموعه از X رضایت بدیهیات زیر است: [8] [9] [18]

مجموعه خالی و X در 𝒞 هستند
تقاطع هر مجموعه از 𝒞 در است 𝒞 .
این اتحادیه از یک زنجیره (با توجه به رابطه گنجاندن ) از عناصر 𝒞 در است 𝒞 .

عناصر 𝒞 دارند به عنوان مجموعه محدب و جفت به نام ( X ، 𝒞 ) است که به نام فضا تحدب . برای محدب بودن معمولی ، دو اصل بدیهی نگه داشته می شود ، و مورد سوم بی اهمیت است.

برای تعریف جایگزین از همرفت انتزاعی ، که بیشتر به هندسه گسسته مناسب است ، به هندسه های محدب مرتبط با ضد میکروب ها مراجعه کنید .

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set

+ نوشته شده در سه شنبه دوم اردیبهشت ۱۳۹۹ ساعت 0:0 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی

مجموعه محدب

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین