نظریه گالوا
از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
نمودار مشبک Q حاشیه مثبت مربعات 2 و 3 ، زیرزمینهای آن و گروههای گالوااست.
در ریاضیات ، تئوری گالوی ارتباط بین تئوری میدانی و تئوری گروه را فراهم می کند . با استفاده از تئوری گالویز ، می توان برخی از مشکلات را در تئوری میدانی به تئوری گروه کاهش داد که به نوعی ساده تر و بهتر درک می شود. از آن برای حل مشکلات کلاسیک استفاده شده است ، از جمله این که نشان می دهد دو مسئله باستان را نمی توان آنگونه که بیان شد حل کرد ( دو برابر مکعب و قطع زاویه ). نشان می دهد که هیچ فرمول کوینتیک وجود ندارد . و نشان می دهد که چند ضلعی ها قابل ساختن هستند .
موضوع است پس از نام اواریست گالوا ، که آن را برای مطالعه معرفی ریشه یک چند جمله ای و توصیف معادلات چند جمله ای که قابل حل توسط رادیکال از نظر خواص از گروه جایگشت از خود ریشه های یک معادله قابل حل توسط رادیکال اگر ریشه های آن ممکن است توسط یک فرمول که شامل تنها بیان اعداد صحیح ، N ریشه هفتم و چهار پایه عملیات محاسباتی .
این تئوری در بین ریاضیدانان رایج شده است و توسط ریچارد ددکیند ، لئوپولد کرونکر ، امیل آرتین و سایرین که گروه permutation از ریشه ها را به عنوان گروه اتوماتیک سازی یک پسوند میدانی تفسیر می کنند ، توسعه یافته است .
نظریه گالوا شده است به تعمیم اتصالات گالوا و نظریه Galois Grothendieck 'ثانیه .
فهرست
کاربرد در مشکلات کلاسیک [ ویرایش ]
تولد و پیشرفت نظریه گالوسی به دلیل این سؤال ایجاد شد که یکی از اصلی ترین سؤالات ریاضیات باز تا آغاز قرن نوزدهم بود:
آیا فرمول ریشه های معادله چند جملهای درجه پنجم (یا بالاتر) از نظر ضرایب چند جمله ای وجود دارد ، فقط با استفاده از اقدامات معمول جبری (اضافه کردن ، تفریق ، ضرب ، تقسیم) و کاربرد رادیکال ها (ریشه های مربع ، ریشه های مکعب ، و غیره)؟
آبل از Ruffini قضیه اثبات نقض که معادلات چند جمله ای که چنین فرمولی نمی تواند وجود داشته وجود دارد فراهم می کند. نظریه گالوا 'فراهم می کند یک پاسخ بسیار کامل تر به این سوال، با توضیح و چرا از آن است ممکن است برای حل برخی از معادلات، از جمله همه کسانی که از درجه چهار یا پایین تر، در روش فوق، و به همین دلیل آن را برای بسیاری از معادلات درجه پنج امکان پذیر نیست یا بالاتر علاوه بر این ، این وسیله ای برای تعیین اینکه آیا یک معادله خاص قابل حل است که هم از نظر مفهومی واضح است و هم به راحتی به عنوان یک الگوریتم بیان می شود ، فراهم می کند .
نظریه گالویز همچنین بینش روشنی در مورد سؤالات مربوط به مشکلات مربوط به ساخت و ساز قطب نما و سکانس دارد . این یک خصوصیات ظریف از نسبت طول هایی را می دهد که با این روش می توان ساخت. با استفاده از این ، پاسخگویی به مشکلات کلاسیک هندسه مانند ، نسبتاً آسان می شود
کدام چند ضلعی معمولی قابل ساخت هستند ؟ [1]
چرا نمی توان با استفاده از قطب نما و طناب کشی هر زاویه را قطعه قطعه کرد ؟ [1]
چرا دو برابر شدن مکعب با همان روش امکان پذیر نیست؟
تاریخچه [ ویرایش ]
همچنین ببینید: جبر چکیده theory نظریه گروه اولیه
پیش از تاریخ [ ویرایش ]
نظریه گالواز در مطالعه توابع متقارن سرچشمه گرفته است - ضرایب چند جملهای مونیك (تا امضای) چند جمله های متقارن ابتدایی در ریشه ها هستند. به عنوان مثال ، ( x - a ) ( x - b ) = x 2 - ( a + b ) x + ab که 1 ، a + b و ab چند جمله ای ابتدایی درجه 0 ، 1 و 2 در دو متغیر هستند.
این نخستین بار توسط ریاضیدان فرانسوی قرن شانزدهم ، فرانسوا ویت ، در فرمول های وییت ، برای مورد ریشه های واقعی مثبت رسمیت یافت . به عقیده ریاضیدانان انگلیسی قرن نوزدهم چارلز هاتون ، [2] بیان ضرایب چند جملهای از نظر ریشه (نه تنها برای ریشه های مثبت) اولین بار توسط ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم آلبرت جیرارد درک شد . هاوتون می نویسد:
... [جیرارد] اولین کسی بود که آموزه کلی شکل گیری ضرایب قدرتها را از جمع ریشه ها و محصولات آنها درک کرد. او اولین کسی بود که قوانینی را برای خلاصه کردن قدرت ریشه های هر معادله کشف کرد.
در این راستا ، متمایز کننده یک عملکرد متقارن در ریشه ها است که منعکس کننده خواص ریشه ها است - صفر است اگر و فقط اگر چند جمله ای دارای ریشه چندگانه باشد ، و برای چندجملهای درجه دوم و مکعب مثبت است اگر و فقط اگر تمام ریشه ها باشد. واقعی و مشخص و منفی اگر و تنها اگر یک جفت ریشه پیچیده مجزا وجود داشته باشد. برای جزئیات بیشتر به ماده تبعیض آمیز مراجعه کنید :
مکعب برای اولین بار تا حدودی توسط ریاضی دان ایتالیایی قرن 15-16 Scipione del Ferro حل شد ، که هنوز نتایج خود را منتشر نکرد. این روش ، تنها ، یک نوع معادله مکعب را حل کرد. این راه حل سپس در سال 1535 به طور مستقل توسط Niccolò Fontana Tartaglia کشف شد ، که آن را با Gerolamo Cardano به اشتراک گذاشت ، و از او خواست که آن را منتشر نکند. Cardano سپس با استفاده از استدلال های مشابه ، این موارد را به موارد دیگر دیگر گسترش داد. جزئیات بیشتر در مورد روش Cardano را ببینید . پس از کشف کار دل فررو ، او احساس کرد که روش تارتاگلیایی دیگر مخفی نیست و به همین ترتیب راه حل خود را در سال 1545 خود به نام Ars Magna منتشر کرد . [3] شاگرد وی لدوویوو فراریحل چند جمله ای چهارگانه راه حل او نیز در Ars Magna گنجانده شده است . در این کتاب ، با این حال ، Cardano یک "فرمول کلی" برای حل یک معادله مکعب ارائه نکرد ، زیرا او نه شماره های پیچیده ای در اختیار داشت و نه نشانه جبری که قادر به توصیف یک معادله مکعب کلی است. فرمول های موجود در این کتاب با بهره گیری از نمادهای مدرن و اعداد پیچیده ، به صورت کلی کار می کنند ، اما Cardano این را نمی دانست. این رافائل بمبلی بود که موفق به درک نحوه کار با اعداد پیچیده برای حل همه اشکال معادله مکعب شد.
یک گام دیگر در بود 1770 مقاله Réflexions جنوبی معادلات algébrique پردازنده توسط فرانسوی ها و ایتالیایی ریاضیدان ژوزف لویی لاگرانژ در روش خود را از resolvents لاگرانژ ، جایی که او با در نظر گرفتن آنها را از نظر تجزیه و تحلیل راه حل کاردانو و فراری از cubics و quartics جایگشت از ریشه ، که چند جمله ای کمکی از درجه پایین تر به دست آورد ، درک واحدی از راه حل ها و زمینه سازی برای تئوری گروه و تئوری گالویز فراهم آورد. با این حال ، بسیار مهم ، او ترکیب جابجایی را در نظر نگرفت . روش لاگرانژ به معادلات کوینتیک یا بالاتر نمی رود ، زیرا حل کننده درجه بالاتری داشت.
تقریباً ثابت شد كه كنتینك هیچ راه حل كلی توسط رادیكال ها توسط پائولو روفینی در سال 1799 ندارد ، كه بینش اصلی آن استفاده از گروه های جایگشت بود ، نه فقط یك مجوز واحد. راه حل وی حاوی شکافی بود ، که کوشی آن را جزئی تلقی می کرد ، هرچند این کار تا زمانی که کار ریاضیدان نروژی نیلز هنریک هابل ، که اثری را در سال 1824 منتشر کرد ، تکمیل نشد ، بنابراین قضیه هابل-رافینی را تأسیس کرد .
در حالی که Ruffini و آبل نشان داد که به طور کلی های quintic نمی تواند حل شود، برخی خاص quintics می تواند حل شود، مانند X 5 - 1 = 0 و معیار دقیق که توسط آن یک داده چند جمله ای های quintic یا بالاتر تواند تعیین می کند می شود قابل حل است یا نه توسط Évariste Galois داده شد ، که نشان داد که آیا چند جمله ای قابل حل است یا نه ، معادل این است که آیا گروه permutation ریشه هایش - یا به تعبیر مدرن ، گروه Galois - از ساختار خاصی برخوردار است - به تعبیر مدرن ، خواه یا نه. یک گروه قابل حل بود. این گروه همیشه برای چندجملهای درجه چهار یا کمتر قابل حل بوده است ، اما نه همیشه برای چندجملهای درجه پنج و بالاتر ، که دلیل آن وجود هیچ راه حل کلی در مقاطع بالاتر نیست.
نوشته های گالویز [ ویرایش ]
یک پرتره از Évariste Galois در سن 15 سالگی
در سال 1830 گالوسی (در سن 18 سالگی) خاطرات خود را در مورد تئوری حلالیت وی توسط رادیکال ها به آکادمی علوم پاریس ارسال کرد . در نهایت در سال 1831 مقاله گالویز به دلیل طرح بیش از حد طراحی و شرط بندی از نظر ریشه معادله به جای ضرایب آن ، رد شد. گالویز سپس در سال 1832 در یک دوئل درگذشت ، و مقاله او " Mémoire sur les de des résolubilité des équations par radicaux " ، تا سال 1846 منتشر نشد و توسط جوزف لیوویل همراه با برخی توضیحات خود منتشر شد. [4] قبل از این انتشار ، لیوول در سخنرانی خود در 4 ژوئیه 1843 نتیجه گالوا را به آکادمی اعلام کرد. [5]به گفته آلن کلارک ، شخصیت پردازی گالوسی "به طرز چشمگیری بر کار هابیل و رافینی" غلبه می کند. [6]
عواقب [ ویرایش ]
نظريه گالويز براي معاصرانش بسيار دشوار بود ، به ويژه در سطحي كه بتوانند در آن گسترش يابند. به عنوان مثال ، در تفسیر خود در سال 1846 ، لیوول هسته تئوریک گروهی روش Galois را کاملاً از دست داد. [7] جوزف آلفرد سرت که در برخی از گفتگوهای لیوول شرکت کرده بود ، نظریه گالوسی را در سال 1866 (چاپ سوم) کتاب درسی خود را به نام Cours d'algèbre supérieure درج کرد . دانش آموز سرت ، کامیل جردن ، درک بهتری داشت که در کتاب خود در سال 1870 به نمایش گذاشته شد Traité des جانشینی و des desququiles algébriques . تئوری گالواز در خارج از فرانسه ، برای مدت طولانی مبهم تر بود. در انگلیس ، کیلینتوانست به عمق آن توجه کند و کتابهای درسی جبر و بریتانیایی معروف حتی پس از چرخش قرن ، نظریه گالوسی را ذکر نکردند. در آلمان ، نوشته‌های کرونکر بیشتر به نتیجه هابیل توجه داشتند. ددکیند در مورد تئوری گالویوس کمی نوشت ، اما در سال 1858 در گوتینگن سخنرانی کرد و درک خوبی از آن نشان داد. [8] کتاب های اوژن نتو در دهه 1880 ، بر اساس Traité جردن ، نظریه گالوسی را برای مخاطبان وسیع آلمانی و آمریکایی ، همانطور که کتاب جبرهای هاینریش مارتین وبر در سال 1895 انجام داد ، در دسترس قرار داد. [9]
منبع
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.